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出典検索?: "準同型" ? ニュース ・ 書籍 ・ スカラー ・ CiNii ・ J-STAGE ・ NDL ・ dlib.jp ・ ジャパンサーチ ・ TWL（2015年10月）

代数学において、二つの代数系が準同型（じゅんどうけい、homomorphic）であるとは、それらの間に数学的構造を保つ写像である準同型写像（じゅんどうけいしゃぞう、homomorphism) があることを意味する。

構造がまったく同じであることを表すときは、代わりに同型（どうけい、isomorphic）および同型写像（どうけいしゃぞう、isomorphism）という術語を用いる。

構造により、等長・等距、同相や射型などといった特定の術語が用いられることがある。
定義と概要

準同型写像とは、同類の二つの代数系（二つのベクトル空間や、二つの群など）の間の写像で、演算の構造を保つものを言う。

すなわち、同類の二つ代数系の集合 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} で、 ⋅ {\displaystyle \cdot } を二つの系の演算（簡単のためここでは二項演算とする。)とすると、その間の準同型写像 f : A → B {\displaystyle f:A\to B} とは、任意の A {\displaystyle A} の要素 x {\displaystyle x} , y {\displaystyle y} について、 f ( x ⋅ y ) = f ( x ) ⋅ f ( y ) {\displaystyle f(x\cdot y)=f(x)\cdot f(y)}

が成立する写像のことである。

より一般的に、 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} に定義された演算 μ {\displaystyle \mu } の引数が k {\displaystyle k} 個ならば、準同型写像 f : A → B {\displaystyle f:A\to B} は、 A {\displaystyle A} の任意の要素 a 1 , . . . , a k {\displaystyle a_{1},...,a_{k}} に対して f ( μ A ( a 1 , … , a k ) ) = μ B ( f ( a 1 ) , … , f ( a k ) ) , {\displaystyle f(\mu _{A}(a_{1},\ldots ,a_{k}))=\mu _{B}(f(a_{1}),\ldots ,f(a_{k})),}

となる写像である。また、準同型写像は通常単射とは限らない。

さらに厳密には、 A {\displaystyle A} を台集合として、代数的構造 R {\displaystyle R} をもつ代数系を ( A , R ) {\displaystyle (A,R)} と記す。 R = { α λ } λ ∈ Λ {\displaystyle R=\{\alpha _{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }} は定義された個々の演算

α λ : A × ⋯ × A ⏟ I λ → A {\displaystyle \alpha _{\lambda }\colon \underbrace {A\times \cdots \times A} _{I_{\lambda }}\to A}

を要素に持つ集合である。同類である二つの代数系 ( A , R ) {\displaystyle (A,R)} 、 ( B , S ) {\displaystyle (B,S)} （ S = { β λ } λ ∈ Λ {\displaystyle S=\{\beta _{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }} ） に対し、準同型写像 ( f , F ) : ( A , R ) → ( B , S ) , ( F = { f λ } λ ∈ Λ ) {\displaystyle (f,F):(A,R)\to (B,S),(F=\{f_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda })} とは、R, S 間で対応する演算 αλ, βλ を可換にする写像 fλ を引き起こすものをいう。つまり

f ∘ α λ = β λ ∘ f λ , ( f λ ( ( x i ) i ∈ I λ ) := ( f ( x i ) ) i ∈ I λ ) {\displaystyle f\circ \alpha _{\lambda }=\beta _{\lambda }\circ f_{\lambda },\quad {\Bigg (}f_{\lambda }((x_{i})_{i\in I_{\lambda }}):=(f(x_{i}))_{i\in I_{\lambda }}{\Bigg )}}

となる写像の組 (f, F) を準同型写像と呼ぶのである。ここで、αλ, βλ は |Iλ。