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出典検索?: "渦度・流れ関数法"
渦度・流れ関数法とは、2次元非圧縮性ナビエ・ストークス方程式（NS方程式）の未知変数を減らして解析を簡単にするための手法のひとつ。NS方程式には未知変数がx 方向速度、y 方向速度、圧力の3つあるが、これを渦度ζと流れ関数ψの2つにする方法である。 次の2式から始める： 以上の2式には、未知変数が速度u のx 方向成分、y 方向成分、および圧力の3つある。NS方程式の回転をとり、連続の式と連立させることによって、次の渦度輸送方程式を導くことができる: ∂ ζ ∂ t + ( u ⋅ ∇ ) ζ = ν ∇ 2 ζ {\displaystyle {\frac {\partial \zeta }{\partial t}}+({\boldsymbol {u}}\cdot \nabla )\zeta =\nu \nabla ^{2}\zeta } ここで、ζは渦度である[1]： ζ = rot u {\displaystyle \zeta =\operatorname {rot} {\boldsymbol {u}}} さらに流れ関数ψを、次式を満たす関数と定義する： u = ( ∂ ψ ∂ y , − ∂ ψ ∂ x ) {\displaystyle {\boldsymbol {u}}=\left({\frac {\partial \psi }{\partial y}},\,-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\right)} すると次の式に書き換えることができる： ∇ 2 ψ = − ζ {\displaystyle \nabla ^{2}\psi =-\zeta } ∂ ζ ∂ t + ∂ ψ ∂ y ∂ ζ ∂ x − ∂ ψ ∂ x ∂ ζ ∂ y = ν ∇ 2 ζ {\displaystyle {\frac {\partial \zeta }{\partial t}}+{\frac {\partial \psi }{\partial y}}{\frac {\partial \zeta }{\partial x}}-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}{\frac {\partial \zeta }{\partial y}}=\nu \nabla ^{2}\zeta } ：渦度輸送方程式 上式は未知変数が渦度ζと流れ関数ψの2つだけであり、元のNS方程式に比べ、解析が簡単になる。
導出
2次元非圧縮性NS方程式
∂ u ∂ t + ( u ⋅ ∇ ) u = − 1 ρ ∇ p + ν ∇ 2 u {\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {u}}}{\partial t}}+({\boldsymbol {u}}\cdot \nabla ){\boldsymbol {u}}=-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\nu \nabla ^{2}{\boldsymbol {u}}}
連続の式
∇ ⋅ u = 0 {\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {u}}=0}
脚注^ 2次元流れのため、渦度ベクトルは流れの平面に直交する成分のみ値を持つ。
参考文献
Joel H. Ferziger; Milovan Perić 著、小林敏雄、谷口伸行、坪倉誠 訳『コンピュータによる流体力学』シュプリンガー・フェアラーク東京、2003年、176頁。.mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation.cs-ja1 q,.mw-parser-output .citation.cs-ja2 q{quotes:"「""」""『""』"}.mw-parser-output .citation:target{background-color:rgba(0,127,255,0.133)}.mw-parser-output .id-lock-free a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-subscription a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Lock-red-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Wikisource-logo.svg")right 0.1em center/12px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:none;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;color:#d33}.mw-parser-output .cs1-visible-error{color:#d33}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:#3a3;margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}.mw-parser-output .cs1-kern-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right{padding-right:0.2em}.mw-parser-output .citation .mw-selflink{font-weight:inherit}ISBN 4-431-70842-1。