減衰振動（げんすいしんどう、damped oscillation[1]、damped vibration[2]）とは、振幅が時間とともに徐々に小さくなるような振動現象である。単振動などは永久に動き続ける運動であるが、実際にそのような実験を行うと、空気抵抗や摩擦力などの抵抗力を受け、いずれは停止してしまう。そのような運動を減衰振動と呼ぶ。
運動方程式1自由度系の質量-バネ-ダンパ系の例減衰を伴うバネ振動のアニメーション

減衰振動のもっとも単純なモデルは、壁と質点をばねでつないだ調和振動子モデルに、速度に比例する抵抗力を発生する減衰要素を加えたものである。時間をt、質点の質量をm、ダンパの減衰係数をc、ばね定数をk、質点の位置をx (t) （垂直方向のみ動けるとする）とすると、このモデルの運動方程式は次の線形微分方程式となる： m x ¨ ( t ) + c x ˙ ( t ) + k x ( t ) = 0 {\displaystyle m{\ddot {x}}(t)+c{\dot {x}}(t)+kx(t)=0}

さらに初期条件として次を与える： x ( 0 ) = x 0 {\displaystyle x(0)=x_{0}} ：初期位置 x ˙ ( 0 ) = v 0 {\displaystyle {\dot {x}}(0)=v_{0}} ：初期速度

ここで上付きドットは時間微分である。この式のように、減衰力が速度に比例して発生するモデルにおける係数cのことを粘性減衰係数(viscous damping coefficient)と呼ぶ[3]。

このモデルでは質点の垂直方向位置xのみを自由度としているので線形1自由度振動系などと呼ぶ。このような系は減衰を考慮した振動の最も単純な系の1つだが、この系の解析から減衰振動の重要な基礎概念を得ることができる[4]。
簡略表現

運動方程式の簡略表現として、上式を変形した次式がよく用いられる： x ¨ ( t ) + 2 ζ ω 0 x ˙ ( t ) + ω 0 2 x ( t ) = 0 {\displaystyle {\ddot {x}}(t)+2\zeta \omega _{0}{\dot {x}}(t)+\omega _{0}^{2}x(t)=0}

ここで、 c c = 2 m k {\displaystyle c_{\text{c}}=2{\sqrt {mk}}} ：臨界粘性減衰係数 (critical viscous damping constant) [5] ζ = c c c {\displaystyle \zeta ={\frac {c}{c_{\text{c}}}}} ：減衰比 (damping ratio) [6] ω 0 = k / m {\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {k/m}}} ：固有角振動数あるいは不減衰固有角振動数 (natural angular frequency) [7]
無次元形式

さらに初期条件も含めて無次元数で表すと、 χ ″ ( τ ) + 2 ζ χ ′ ( τ ) + χ ( τ ) = 0 , {\displaystyle \chi ''(\tau )+2\zeta \chi '(\tau )+\chi (\tau )=0,} χ ( 0 ) = 1 , χ ′ ( 0 ) = σ {\displaystyle \chi (0)=1,\quad \chi '(0)=\sigma }

となる。ここで ′ = d / d τ {\displaystyle '=\mathrm {d} /\mathrm {d} \tau } τ = ω 0 t {\displaystyle \tau =\omega _{0}t} ：無次元時間 χ = x / x 0 {\displaystyle \chi =x/x_{0}} ：無次元振幅 σ = v 0 x 0 ω 0 {\displaystyle \sigma ={\frac {v_{0}}{x_{0}\omega _{0}}}} ：無次元初期速度

上式から分かるように、この運動を支配するパラメータは本質的に減衰比ζと初期速度σの2つしかない。このことは次元解析をすることによっても分かる。
解減衰振動の時刻歴変化の様子、ζの値によって運動の様子が異なる
縦軸は無次元振幅、横軸は無次元時間、ここではω：固有角振動数　

この運動の解は減衰比ζの大きさによって4つに分類される。
不減衰振動

ζ = 0のとき[6] x ( t ) = C cos ⁡ ( ω 0 t − α ) {\displaystyle x(t)=C\cos \left(\omega _{0}t-\alpha \right)}

ただし C = x 0 1 + σ 2 {\displaystyle C=x_{0}{\sqrt {1+\sigma ^{2}}}} α = tan − 1 ⁡ ( − σ ) {\displaystyle \alpha =\tan ^{-1}\left(-\sigma \right)} 詳細は「単振動」を参照