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混合モデル（こんごうモデル、英: mixed model）とは、固定効果（fixed effect）と変量効果（random effect）を共に含む（ゆえに混合効果と呼ばれる）統計学的モデルであり、医学・生物学・社会科学等の広い領域に用いられる。特に縦断研究においてある項目を繰り返し観察する反復測定デザイン（英語版）等で有用である。欠測データの取り扱いに優れ、混合効果モデルは多くの場合、反復測定分散分析等の伝統的なアプローチよりも望ましい。 1918年、ロナルド・フィッシャーが関連する項目間の特性を変量効果モデルとして導き出した事に由来する[1]。1950年代、チャールズ・ヘンダーソンが固定効果モデルである最良線形不偏推定量（BLUE）および変量効果モデルである最良線形不偏予測量
歴史と現状
その後、混合モデルは最尤推定量、非線形混合効果モデル、欠測のあるモデル、混合効果モデルのベイズ推定量の計算等に用いられるようになった。混合モデルは各測定点での値が相互に影響し合うケースに用いられ、現在ではヒトに対する臨床試験や動物実験で汎用されているほか、@media screen{.mw-parser-output .fix-domain{border-bottom:dashed 1px}}工業統計においても使用されている[要出典]。 行列を用いて以下の様に記述する。 y = X β + Z u + ϵ {\displaystyle {\boldsymbol {y}}=X{\boldsymbol {\beta }}+Z{\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {\epsilon }}} ここで、 y {\displaystyle {\boldsymbol {y}}} と u {\displaystyle {\boldsymbol {u}}} の結合密度関数は次の様に書ける: f ( y , u ) = f ( y 。 u ) f ( u ) {\displaystyle f({\boldsymbol {y}},{\boldsymbol {u}})=f({\boldsymbol {y}}|{\boldsymbol {u}})\,f({\boldsymbol {u}})}
定義
y {\displaystyle {\boldsymbol {y}}} は既知の測定値ベクトルであり、その平均は E ( y ) = X β {\displaystyle E({\boldsymbol {y}})=X{\boldsymbol {\beta }}} である。
β {\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}} は固定効果の未知ベクトルである。
u {\displaystyle {\boldsymbol {u}}} は変量効果の未知ベクトルであり、その平均は E ( u ) = 0 {\displaystyle E({\boldsymbol {u}})={\boldsymbol {0}}} で、分散共分散行列は var ( u ) = G {\displaystyle \operatorname {var} ({\boldsymbol {u}})=G} である。
ϵ {\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}} は測定誤差の未知ベクトルであり、その平均は E ( ϵ ) = 0 {\displaystyle E({\boldsymbol {\epsilon }})={\boldsymbol {0}}} で、分散は var ( ϵ ) = R {\displaystyle \operatorname {var} ({\boldsymbol {\epsilon }})=R} である。
X {\displaystyle X} ならびに Z {\displaystyle Z} は各々、 y {\displaystyle {\boldsymbol {y}}} から β {\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}} ならびに u {\displaystyle {\boldsymbol {u}}} の測定値に関する既知の計画行列である。
推定
