可換およびホモロジー代数において、深さ、深度 (depth) は環と加群の重要な不変量である。深さはより一般に定義できるが、考察される最も一般的なケースは可換ネーター局所環上の加群のケースである。この場合、加群の深さはAuslander-Buchsbaum の公式（英語版）によってその射影次元と関係する。深さのより初等的な性質は不等式 d e p t h ( M ) ≤ dim ⁡ ( M ) , {\displaystyle \mathrm {depth} (M)\leq \dim(M),}

である、ただし dim M は加群 M のクルル次元を表す。深さはよい性質をもつ環と加群のクラスを定義するのに使われる。例えばコーエン-マコーレー環と加群で、これは等号が成り立つ。
定義

R を可換ネーター環、I を R のイデアル、M を IM が M に真に含まれるという性質をもつ有限 R-加群とする。このとき M の I-深度 (I-depth) は、 M の grade とも呼ばれるが、 d e p t h I ( M ) = min { i : Ext i ⁡ ( R / I , M ) ≠ 0 } {\displaystyle \mathrm {depth} _{I}(M)=\min\{i:\operatorname {Ext} ^{i}(R/I,M)\neq 0\}}

と定義される。定義によって、環 R の深度は自身の上の加群としてのその深度である。

David Rees による定理によって、深度は正則列の概念を用いて特徴づけることもできる。
定理 (Rees)

R を可換ネーター局所環でその極大イデアルを m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} とし、M を有限生成 R-加群とする。このとき M のすべての極大正則列 x1,..., xn、ただし各 xi は m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} に属する、は M の m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} -深度と同じ長さ n をもつ。
深さと射影次元

可換ネーター局所環上の加群の射影次元と深さは互いに相補的である。これは Auslander?Buchsbaum の公式の内容である。これは基礎理論的に重要であるばかりでなく、加群の深さを計算する効率的な方法を提供してくれる。R を可換ネーター局所環でその極大イデアルを m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} とし、M を有限生成 R-加群とする。M の射影次元が有限であれば、Auslander?Buchsbaum の公式が述べているのは p d R ( M ) + d e p t h ( M ) = d e p t h ( R ) . {\displaystyle \mathrm {pd} _{R}(M)+\mathrm {depth} (M)=\mathrm {depth} (R).}
深さ0の環

可換ネーター局所環 R が深さ 0 をもつこととその極大イデアル m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} が素因子であることと同値である。あるいは同じことだが、R の 0 でない元 x が存在して x m = 0 {\displaystyle x{\mathfrak {m}}=0} （すなわち x は m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} を零化する）。これが意味するのは、本質的に、閉点が埋め込まれた成分（英語版）であるということだ。

例えば、環 k [ x , y ] / ( x 2 , x y ) {\displaystyle k[x,y]/(x^{2},xy)} （ただし k は体）は原点に埋め込まれた二重点をもつ直線 ( x = 0 {\displaystyle x=0} ) を表現するが、原点において深度 0 をもつが次元は 1 である。これはコーエン・マコーレーでない環の例を与える。
参考文献

Eisenbud, David (1995), Commutative algebra with a view toward algebraic geometry, Graduate Texts in Mathematics, 150, Berlin, New York: Springer-Verlag, .mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation.cs-ja1 q,.mw-parser-output .citation.cs-ja2 q{quotes:"「""」""『""』"}.mw-parser-output .citation:target{background-color:rgba(0,127,255,0.133)}.mw-parser-output .id-lock-free a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-subscription a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Lock-red-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Wikisource-logo.svg")right 0.1em center/12px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:none;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;color:#d33}.mw-parser-output .cs1-visible-error{color:#d33}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:#3a3;margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}.mw-parser-output .cs1-kern-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right{padding-right:0.2em}.mw-parser-output .citation .mw-selflink{font-weight:inherit}ISBN 978-0-387-94269-8, MR1322960 

Winfried Bruns; Jurgen Herzog, Cohen?Macaulay rings. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 39. Cambridge University Press, Cambridge, 1993. xii+403 pp. ISBN 0-521-41068-1