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法線ベクトル（ほうせんベクトル、英: normal vector）とは、2次元平面においては、曲線上の点における接線に垂直な平面ベクトル、3次元空間においては、曲面上の点における接平面に垂直な空間ベクトルのことである。法線（ほうせん、英: normal）とは、接線や接平面に垂直な直線のことである。
曲線（曲面）上の点に対して法線ベクトルは1つに決まらないことに注意する必要がある。そこで中でも単位ベクトル（ノルムが 1）であるものを単位法（線）ベクトル（英: normal unit vector）というが、それでも2つあることに注意する必要がある。
3次元での例平面の法線ベクトルの例
曲面の法線ベクトルは、2つの線形独立な接ベクトルの外積として求めることができる。
右図で示した右手系の正規直交座標系において、直方体の一つの面の頂点を A, B, C, D とすると、面 ABCD の法線ベクトル N は、 N = AB → × AD → {\displaystyle {\boldsymbol {N}}={\overrightarrow {\text{AB}}}\times {\overrightarrow {\text{AD}}}}
となる。ここで ×はベクトルの外積を表す。ノルムは線分 AD と線分 BC の長さの積となっている。
線分 AB と線分 DC が x軸に平行で、線分 AD と線分 BC が z軸に平行な場合、 N = − 。 AB → 。 i × 。 AD → 。 k = 。 AB → 。 。 AD → 。 j {\displaystyle {\boldsymbol {N}}=-|{\overrightarrow {\text{AB}}}|{\boldsymbol {i}}\times |{\overrightarrow {\text{AD}}}|{\boldsymbol {k}}=|{\overrightarrow {\text{AB}}}||{\overrightarrow {\text{AD}}}|{\boldsymbol {j}}}
となる。ここで j は y軸方向の単位ベクトルである。 平面において、 接点と法線ベクトルから、元の接空間を表すことができる。 典拠管理データベース: 国立図書館
導出
曲線 f ( x , y ) = 0 {\displaystyle f(x,y)=0} 上の点 ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0})} における法線ベクトル： ( ∂ f ∂ x ( x 0 , y 0 ) , ∂ f ∂ y ( x 0 , y 0 ) ) {\displaystyle \left({\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0},y_{0}),{\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y_{0})\right)}
特に、直線 a x + b y + c = 0 {\displaystyle ax+by+c=0} 上の点 ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0})} における法線ベクトル： ( a , b ) {\displaystyle (a,b)}
曲線 x = f ( t ) , y = g ( t ) {\displaystyle x=f(t),y=g(t)} （t は媒介変数）の t = t 0 {\displaystyle t=t_{0}} における点の法線ベクトル： ± ( y ′ ( t 0 ) , − x ′ ( t 0 ) ) {\displaystyle \pm (y'(t_{0}),-x'(t_{0}))}
接空間の法線ベクトルによる表示
接点 A ( a ) {\displaystyle {\text{A}}({\boldsymbol {a}})} 、法線ベクトル n {\displaystyle {\boldsymbol {n}}} の接空間の方程式は n ⋅ ( x − a ) = 0 {\displaystyle {\boldsymbol {n}}\cdot ({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})=0}
関連項目
線形代数学
ベクトル空間
ベクトル
単位ベクトル
直交補空間
ベクトル解析
外部リンク
『法線ベクトルの3通りの求め方と応用』 - 高校数学の美しい物語
ドイツ
