比較判定法（ひかくはんていほう、英: comparison test）は、実数や複素数を項にもつ級数が、収束するか発散するかを判定する方法である。これは、判定の対象となる級数の項を、収束性が判明している級数の項と比較することによって、収束性を判断する。比較判定法には、2 つの種類が存在する。
第一種比較判定法

第一種比較判定法とは、次のようなものである。もし、級数 ∑ n = 1 ∞ b n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}

が絶対収束し、n に依存しない実数 C が存在して 。 a n 。 ≤ C 。 b n 。 {\displaystyle |a_{n}|\leq C|b_{n}|}

が十分大きい n に対して成立するならば、級数 ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}

は絶対収束する。このとき、b が a を「抑える(dominate)」という。もし、級数 Σ|bn。が発散し、 。 a n 。 ≥ 。 b n 。 {\displaystyle |a_{n}|\geq |b_{n}|}

が十分大きい n に対して成立するならば、級数 Σ|an。は絶対収束しない（ただし、例えば an の符号が交互に入れ替わるような場合は、条件収束することがある）。
第二種比較判定法

第二種比較判定法とは、次のようなものである。もし、級数 ∑ n = 1 ∞ b n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}

が絶対収束し、n に依存しない実数 C が存在して 。 a n + 1 a n 。 ≤ C 。 b n + 1 b n 。 {\displaystyle \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leq C\,\left|{\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}\right|}

が十分大きい n に対して成立するならば、級数 ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}

は絶対収束する。もし、級数 Σ|bn。が発散し、 。 a n + 1 a n 。 ≥ 。 b n + 1 b n 。 {\displaystyle \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\geq \left|{\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}\right|}

が十分大きい n に対して成立するならば、級数 Σ|an。は絶対収束しない（ただし、例えば an の符号が交互に入れ替わるような場合は、条件収束することがある）。

これは、ダランベールの収束判定法に基づくものである。
参考文献

Knopp, Konrad, "Infinite Sequences and Series", Dover publications, Inc., New York, 1956. (§ 3.1) ISBN 0486601536


Whittaker, E. T., and Watson, G. N., A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1963. (§ 2.34) ISBN 0521588073

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