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正規化(せいきか、英語: normalization)とは、データなどを一定の規則に基づいて変形し、利用しやすくすること。言い換えると、正規形でないものを正規形(比較・演算などの操作のために望ましい性質を持った一定の形)に変形することをいう。多くの場合、規格化と訳しても同義である。
用語「正規化」は、非常に多くの分野で使われていて、分野によって意味も大きく異なるので、頻度が高い分野についてそれぞれ個別に説明する。 ノルムが定義されたベクトル空間のベクトル v に対し、それにノルムの逆数 ‖ v ‖−1 を掛けてノルムが 1 であるベクトルにすることを、正規化という。 なお、数学的なベクトルでなく、情報科学分野で数列を意味するベクトルの正規化は、この意味での正規化ではなく、後で述べる数量の正規化になる。多変量データをベクトル空間に表した場合などはどちらの意味にもとれ、結果が定数倍異なるので、注意が必要である。 量子力学で現れる波動関数 Ψ は二乗可積分関数の空間のベクトルとみなすことができる。この意味でベクトル Ψ は正規化されることが多い。物理的には、この操作は全空間での存在確率の合計を 1 にすることと解釈される。 数量を代表値で割るなどして無次元量化し、互いに比較できるようにすることを、正規化という。 正規化した結果は単位系によらない。したがって、正規化することによって、たとえば身長と体重など、次元が異なりそのままでは比較できない数量が比較できる。次元が同じでも、夏と冬の1日の気温変化のように、条件が異なるデータも正規化によって比較しやすくなる。 正規化は特に多変量解析の前処理として行われ、この用途の正規化を特徴軸の正規化という。 正規化の方法には様々なものがあり、次の2つが基本的である。 どちらが適しているかは、どのようなデータをどのような解析のために正規化するかによる。多変量解析には2.が用いられる。 用途によっては、同じように比例変換やアフィン変換をするのでも、最大値が 1、最小値が 0(または −1)となるように正規化をすることもある。また、べき乗して歪度を 0 にする、あらかじめ与えられた分布に一致させるなど、もっと強い正規化が用いられることもある。 パターン認識の前処理 確率密度関数については、横軸をアフィン変換して平均を 0、分散を 1 にすることを正規化という。正規化することによって、標準正規分布関数との、または確率密度関数どうしの比較が容易になる。
ベクトル
波動関数詳細は「規格化」を参照
代数多様体の正規化「代数多様体の正規化(英語版
ネーターの正規化定理「ネーターの正規化定理」を参照
数量
二乗平均平方根が 1 になるよう、線形変換(比例変換)をする。
平均が 0、分散が 1 になるよう、アフィン変換をする。
パターン認識
確率分布
確率密度関数の正規化定数(英語版
例えば、次の関数と台があったときに、 p ( x ) = e − x 2 / 2 , x ∈ ( − ∞ , ∞ ) {\displaystyle p(x)=e^{-x^{2}/2},\quad x\in (-\infty ,\infty )}
台の範囲で定積分すると次式の値になる。 ∫ − ∞ ∞ p ( x ) d x = ∫ − ∞ ∞ e − x 2 / 2 d x = 2 π , {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }p(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}/2}\,dx={\sqrt {2\pi \,}},}