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正規分布確率密度関数
正規分布の確率密度関数。赤は標準正規分布
累積分布関数
正規分布の累積分布関数：色は確率密度関数と同じ
母数 μ ∈ R {\displaystyle \mu \in \mathbb {R} } （位置）
σ2 > 0 スケールの2乗（実数）
台 R = ( − ∞ , ∞ ) {\displaystyle \mathbb {R} =(-\infty ,\infty )}
確率密度関数 1 2 π σ 2 exp ⁡ ( − ( x − μ ) 2 2 σ 2 ) {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\;\exp \left(-{\frac {\left(x-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}
累積分布関数 1 2 ( 1 + erf x − μ 2 σ 2 ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(1+\operatorname {erf} \,{\frac {x-\mu }{\sqrt {2\sigma ^{2}}}}\right)}
期待値μ
中央値μ
最頻値μ
分散σ2
歪度0
尖度0（定義によっては3）
エントロピー ln ⁡ ( σ 2 π e ) {\displaystyle \ln \left(\sigma {\sqrt {2\,\pi \,e}}\right)}
モーメント母関数 M X ( t ) = exp ⁡ ( μ t + σ 2 t 2 2 ) {\displaystyle M_{X}(t)=\exp \left(\mu \,t+{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}\right)}
特性関数 ϕ X ( t ) = exp ⁡ ( μ i t − σ 2 t 2 2 ) {\displaystyle \phi _{X}(t)=\exp \left(\mu \,i\,t-{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}\right)}
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正規分布（せいきぶんぷ、英: normal distribution）またはガウス分布（英: Gaussian distribution）は、確率論や統計学で用いられる連続的な変数に関する確率分布の一つである[1]。データが平均の付近に集積するような分布を表す。主な特徴としては平均値と最頻値、中央値が一致する事や平均値を中心にして左右対称である事などが挙げられる[1][2]。

中心極限定理により、独立な多数の因子の和として表される確率変数は正規分布に従う。このことによって正規分布は統計学や自然科学、社会科学の様々な場面で複雑な現象を簡単に表すモデルとして用いられている[1]。

たとえば、実験における測定の誤差は正規分布に従って分布すると仮定され、不確かさの評価が計算されている。

正規分布の確率密度関数のフーリエ変換は再び正規分布の密度関数になることから、フーリエ解析および派生した様々な数学・物理の理論の体系において、正規分布は基本的な役割を果たしている。

確率変数 X が1次元正規分布に従う場合は X ∼ N ( μ , σ 2 ) {\displaystyle X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})} と表記し、確率変数 X が n 次元正規分布に従う場合は X ∼ N n ( μ , Σ ) {\displaystyle X\sim N_{n}(\mu ,{\mathit {\Sigma }})} などと表記する。
概要

平均を μ, 分散を σ2 > 0 とする（1次元）正規分布とは、確率密度関数が次の形（ガウス関数と呼ばれる） f ( x ) = 1 2 π σ 2 exp ( − ( x − μ ) 2 2 σ 2 ) ( x ∈ R ) {\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\exp \!\left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\quad (x\in \mathbb {R} )}

で与えられる確率分布のことである[1][3][4]。この分布を N(μ, σ2) と表す[1][3]。（N は「正規分布」を表す英語 normal distribution の頭文字から取られている）[1]。
標準正規分布

特に μ = 0, σ2 = 1 のとき、この分布は（1次元）標準正規分布（または基準正規分布）と呼ばれる[5]。つまり標準正規分布 N(0, 1) は f ( x ) = 1 2 π exp ( − x 2 2 ) {\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp \!\left(-{\frac {x^{2}}{2}}\right)}

なる確率密度関数を持つ確率分布として与えられる[1]。
再生性

正規分布は再生性を持つ[6] ?? つまり確率変数 X1, …, Xn が独立にそれぞれ正規分布 N(μ1, σ12), …, N(μn, σn2) に従うとき、線型結合 �蚤iXi は正規分布 N(�蚤iμi, �蚤i2σi2) に従う。