三角法における正接定理（せいせつていり）とは、三角形の2つの角と2つの辺の関係を示した定理である。

図1 において以下の式が成り立つ。 a − b a + b = tan ⁡ [ 1 2 ( α − β ) ] tan ⁡ [ 1 2 ( α + β ) ] . {\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}}.}

正接定理は正弦定理や余弦定理ほど一般的ではないが、三角形の2つの角と2辺の長さのうちどれか1つが不明の場合は正弦定理の代わりにこの定理を使用しても残りの値を出すことができる。

球面上の三角形における正接定理は、13世紀にナスィールッディーン・トゥースィーが著書 Treatise on the Quadrilateral で言及している[1][2]。
目次

1 証明

2 応用

3 関連項目

4 脚注

証明

この定理の証明は、正弦定理から始まる。 d = a sin ⁡ α = b sin ⁡ β {\displaystyle d={\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}}

と置く。変形すると a = d sin ⁡ α {\displaystyle a=d\sin \alpha } および b = d sin ⁡ β {\displaystyle b=d\sin \beta }

となる。

定理の左辺に代入する。 a − b a + b = d sin ⁡ α − d sin ⁡ β d sin ⁡ α + d sin ⁡ β = sin ⁡ α − sin ⁡ β sin ⁡ α + sin ⁡ β . {\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {d\sin \alpha -d\sin \beta }{d\sin \alpha +d\sin \beta }}={\frac {\sin \alpha -\sin \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }}.}

ここで、以下の和積公式を使用する。 sin ⁡ α ± sin ⁡ β = 2 sin ⁡ ( α ± β 2 ) cos ⁡ ( α ∓ β 2 ) , {\displaystyle \sin {\alpha }\pm \sin {\beta }=2\sin \left({\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha \mp \beta }{2}}\right),\;}

最終的に以下のようになる。 a − b a + b = 2 sin ⁡ 1 2 ( α − β ) cos ⁡ 1 2 ( α + β ) 2 sin ⁡ 1 2 ( α + β ) cos ⁡ 1 2 ( α − β ) = tan ⁡ [ 1 2 ( α − β ) ] tan ⁡ [ 1 2 ( α + β ) ] . ◼ {\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {2\sin {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha -\beta \right)\cos {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha +\beta \right)}{2\sin {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha +\beta \right)\cos {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha -\beta \right)}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}}.\qquad \blacksquare }

この証明を変形して以下の式を導くことができる。 tan ⁡ ( α ± β 2 ) = sin ⁡ α ± sin ⁡ β cos ⁡ α + cos ⁡ β {\displaystyle \tan \left({\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\right)={\frac {\sin \alpha \pm \sin \beta }{\cos \alpha +\cos \beta }}}
応用

正接定理は、三角形の2辺 a, b とその間の角 γ {\displaystyle \gamma } が与えられているときに他の辺と角の値を求めるために使用できる。 tan ⁡ [ 1 2 ( α − β ) ] = a − b a + b tan ⁡ [ 1 2 ( α + β ) ] = a − b a + b cot ⁡ [ γ 2 ] {\displaystyle \tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]={\frac {a-b}{a+b}}\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]={\frac {a-b}{a+b}}\cot[{\frac {\gamma }{2}}]} より α − β {\displaystyle \alpha -\beta } を求めることができ、 α + β = 180 ∘ − γ {\displaystyle \alpha +\beta =180^{\circ }-\gamma } も分かるので角の値を求めることができる。