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三角法
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表
話
編
歴
正弦定理(せいげんていり、英:law of sines)とは三角形の内角の正弦(サイン)とその対辺の長さの関係を示したものである。正弦法則ともいう。多くの場合、平面三角法における定理を指すが、球面三角法などでも類似の定理が知られており、同じように正弦定理と呼ばれている。 △ABC において、BC = a, CA = b, AB = c, 外接円の半径を R とすると、 a sin A = b sin B = c sin C = 2 R {\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R} が成り立つという定理である。これより一辺とその両端の角から他の二辺が分かり、三角測量の基礎となっている定理である。 これは A, B, C に関して対等な表現であるから、その内の1つだけを取り出した a sin A = 2 R {\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}=2R} あるいは a = 2 R sin A {\displaystyle {a}=2R{\sin A}} を正弦定理であると表現することもできる。 以下の証明では角度は弧度法で表している。なお π = 180°である。 直径 BD を取る。 円周角の定理より ∠A = ∠D である。 △BDC において、BD は直径だから、 BD = 2 R , ∠ BCD = π 2 {\displaystyle {\text{BD}}=2R,\angle {\text{BCD}}={\frac {\pi }{2}}} である。よって、正弦の定義より、 sin D = a 2 R {\displaystyle \sin D={\frac {a}{2R}}} である。ゆえに sin A = sin D = a 2 R {\displaystyle \sin A=\sin D={\frac {a}{2R}}} 変形すると a sin A = 2 R {\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}=2R} が得られる。∠B, ∠C についても同様に示される。 BC = a = 2R であり、 sin A = sin π 2 = 1 {\displaystyle \sin A=\sin {\frac {\pi }{2}}=1} であるから、 a sin A = 2 R {\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}=2R}
概要
証明
0 < ∠A < .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}π/2 のとき
∠A = π/2 のとき