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正四面体


種別正多面体、デルタ多面体、四面体
面数4
面形状正三角形
辺数6
頂点数4
頂点形状3, 3, 3
33

シュレーフリ記号{3, 3}
ワイソフ記号3 | 2 3
| 2 2 2
対称群Td
双対多面体自己双対
特性凸集合

展開図
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正四面体（せいしめんたい、せいよんめんたい、英: regular tetrahedron）とは、4枚の合同な正三角形を面とする四面体である。

最も頂点・辺・面の数が少ない正多面体であり、最も頂点・辺・面の数が少ないデルタ多面体であり、アルキメデスの正三角錐である。また、3次元の正単体である。

なお一般に、n 面体のトポロジーは一定しないが、四面体だけは1種類のトポロジーしかない。つまり、四面体は全て、正四面体と同相であり、正四面体の辺を伸ばしたり縮めたりしたものである。
性質正四面体のペトリー多角形立方体の中の正四面体（アニメGIF）正四面体の対称性

面の数は4、辺の数は6、頂点の数は4。これらは全て多面体で最少である。また、パスカルの三角形の第5段の2?4番目の数字でもある。

頂点形状は正三角形であり、3本の辺と3枚の正三角形が集まる。これらはパスカルの三角形の第4段の2、3番目の数字である。

自らと双対である（自己双対多面体）。

対角線は存在しない。

ペトリー多角形は正方形である。

立方体 (±1, ±1, ±1) の4つの頂点 (1,1,1), (1,-1,-1), (-1,1,-1), (-1,-1,1) を結べば、正四面体になる。

正四面体の辺の中点を結べば、正八面体になる。このとき4個の正四面体ができる。逆に正八面体の互い違いの4面を延長すると、正四面体になる。

展開図は2通りあり、一方は正三角形、もう一方は平行四辺形になる。

単独で空間充填は出来ないが、正八面体と組み合わせた空間充填は可能である。

対称性

対称性は、

中心と頂点を通る直線について3回対称

中心と辺の中点を通る直線について4回反対称、したがって線対称（2回対称）

中心と辺を通る面について面対称

などである。
計量

辺の長さを a {\displaystyle a\,} とする。

面の面積 A = 3 4 a 2 {\displaystyle A={{\sqrt {3}} \over 4}a^{2}} ≈ 0.433012702 a 2 {\displaystyle \approx 0.433012702a^{2}}
表面積 S = 4 A = 3 a 2 {\displaystyle S=4A={\sqrt {3}}a^{2}} ≈ 1.732050808 a 2 {\displaystyle \approx 1.732050808a^{2}}
高さ h = 6 3 a {\displaystyle h={\frac {\sqrt {6}}{3}}a} ≈ 0.816496581 a {\displaystyle \approx 0.816496581a}
体積 V = 1 3 A h = 2 12 a 3 {\displaystyle V={\frac {1}{3}}Ah={{\sqrt {2}} \over 12}a^{3}} ≈ 0.117851130 a 3 {\displaystyle \approx 0.117851130a^{3}}
辺と面のなす角 tan − 1 ⁡ 2 {\displaystyle \tan ^{-1}{\sqrt {2}}} ≈ 54.735610 ∘ {\displaystyle \approx 54.735610^{\circ }}
二面角 cos − 1 ⁡ 1 3 = tan − 1 ⁡ 8 {\displaystyle \cos ^{-1}{\frac {1}{3}}=\tan ^{-1}{\sqrt {8}}} ≈ 70.528779 ∘ {\displaystyle \approx 70.528779^{\circ }}
中心と頂点を結ぶ直線のなす角 π 2 + sin − 1 ⁡ 1 3 = 2 tan − 1 ⁡ 2 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}+\sin ^{-1}{\frac {1}{3}}=2\tan ^{-1}{\sqrt {2}}} ≈ 109.471221 ∘ {\displaystyle \approx 109.471221^{\circ }}
頂点の立体角 3 cos − 1 ⁡ 1 3 − π = cos − 1 ⁡ 23 27 {\displaystyle 3\cos ^{-1}{\frac {1}{3}}-\pi =\cos ^{-1}{\frac {23}{27}}} ≈ 0.551285598   s r {\displaystyle \approx 0.551285598\ \mathrm {sr} }
外接球（頂点を通る球）の半径 R = 3 8 a {\displaystyle R={\sqrt {\frac {3}{8}}}a} ≈ 0.612372436 a {\displaystyle \approx 0.612372436a}
内接球（面と接する球）の半径 r = 1 3 R = 1 24 a {\displaystyle r={1 \over 3}R={1 \over {\sqrt {24}}}a} ≈ 0.204124145 a {\displaystyle \approx 0.204124145a}
中接球（辺と接する球）の半径 r M = r R = 1 8 a {\displaystyle r_{\mathrm {M} }={\sqrt {rR}}={1 \over {\sqrt {8}}}a} ≈ 0.353553391 a {\displaystyle \approx 0.353553391a}
傍接球の半径 r E = 1 6 a {\displaystyle r_{\mathrm {E} }={1 \over {\sqrt {6}}}a} ≈ 0.408248290 a {\displaystyle \approx 0.408248290a}
頂点から傍心（傍接球の中心）までの距離 3 2 a {\displaystyle {\sqrt {\frac {3}{2}}}a} ≈ 1.224744871 a {\displaystyle \approx 1.224744871a}