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数学における正の数（せいのすう、英: positive number, plus number, above number; 正数）は、0より大きい実数である。対照的に負の数（ふのすう、英: negative number, minus number, below number; 負数）は、0より小さい実数である。とくに初等数学・算術や初等数論などの文脈によっては、（暗黙の了解のもと）特に断りなく、より限定的な範囲の正の有理数や正の整数という意味で単に「正の数」と呼んでいる場合がある。負の数も同様である。
関数
符号関数

定義域が実数であり、正数に対して1を、負数に対して?1を、ゼロに対して0を返す関数 sgn(x) を定義できる。この関数は符号関数と呼ばれることがある sgn ⁡ ( x ) = { − 1 : x < 0 0 : x = 0 1 : x > 0 {\displaystyle \operatorname {sgn}(x)=\left\{{\begin{matrix}-1&:x<0\\\;0&:x=0\\\;1&:x>0\end{matrix}}\right.}

このとき（x=0の場合を除き）以下の式が得られる。 sgn ⁡ ( x ) = x 。 x 。 = 。 x 。 x = d 。 x 。 d x = 2 H ( x ) − 1. {\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\frac {x}{|x|}}={\frac {|x|}{x}}={\frac {d{|x|}}{d{x}}}=2H(x)-1.}

ここで |x。は x の絶対値であり、H(x) はヘヴィサイドの階段関数である。微分法も参照。
複素符号関数

定義域が複素数であり、正数に対して1を、負数に対して-1を、ゼロに対して0を返す csgn(x) を定義できる 。この関数は複素符号関数と呼ばれることがある。 csgn ⁡ ( x ) = { − 1 : x < 0 0 : x = 0 1 : x > 0 {\displaystyle \operatorname {csgn} (x)=\left\{{\begin{matrix}-1&:x<0\\\;0&:x=0\\\;1&:x>0\end{matrix}}\right.}

複素数の大小は以下のように解釈する。 { x > 0 ⟺ Re ⁡ ( x ) > 0 ∨ ( Re ⁡ ( x ) = 0 ∧ Im ⁡ ( x ) > 0 ) x < 0 ⟺ Re ⁡ ( x ) < 0 ∨ ( Re ⁡ ( x ) = 0 ∧ Im ⁡ ( x ) < 0 ) {\displaystyle {\begin{cases}x>0\iff \operatorname {Re} (x)>0\vee (\operatorname {Re} (x)=0\land \operatorname {Im} (x)>0)\\x<0\iff \operatorname {Re} (x)<0\vee (\operatorname {Re} (x)=0\land \operatorname {Im} (x)<0)\\\end{cases}}}
符号付き数の算術演算
加算と減算

数列は、零・正数・負数の三種類が組み合わさって構成されており、基準点が零、基準点から増えている分が正数、基準点から減っている分が負数となる。

従って、加算と減算では、負数は負債であり、正数は収益であると考えることができる。同じく、時間や世代の距離を数える場合にも、零は現在や自分、負数は過去や年上（親や祖父母など）、正数は未来や年下（子供や孫など）であると考えることもできる。

負数を加えることは、対応する正数を減ずることになる。逆に、負数を減ずることは、対応する正数を加えることになる。

9 ? 5 = 4
（9歳年下の人物と5歳年下の人物は、4歳離れている。）

7 ? (?2) = 9
（7歳年下の人物と2歳年上の人物は、9歳離れている。）

?4 + 12 = 8
（\4の負債があって収益による\12の資産を得たら、純資産は\8である）（注:純資産＝資産総額?負債総額）

5 + (?3) = 5 ? 3 = 2
（\5の資産を持っていて\3の負債ができたら、純資産は\2である）

?2 + (?5) = ?2 ? 5 = ?7
（\2の負債があってさらに\5の負債ができたら、負債は合わせて\7になる）

減算と負符号の概念の混乱を避けるため、負符号を上付きで書く場合もある（ただし、会計では負符号を△で表現する）。?2 + ?5 = ?2 ? 5 = ?7△2 + △5 = △2 ? 5 = △7

正数をより小さな正数から減ずると、結果は負となる。4 ? 6 = ?2（\4を持っていて\6を使ったら、負債\2が残る）

正数を任意の負数から引くと、結果は負となる。?3 ? 6 = ?9（負債が\3あってさらに\6を使ったら、負債は\9となる）

負数を減ずることは、対応する正数を加えることと等価である。5 ? (?2) = 5 + 2 = 7（純資産\5を持っていて負債を\2減らしたら、新たな純資産は\7となる）

別の例?8 ? (?3) = ?5（負債が\8あって負債を\3減らしたら、まだ\5の負債が残る）
乗算

負数を掛けることは、正負の方向を逆転させることになる。負数に正数を掛けると、積は負数のままとなる。しかし、負数に負数を掛けると、積は正数となる[1]。(?20) × 3 = ?60

（負債\20を3倍にすれば、負債\60になる。）(?40) × (?2) = 80

（後方へ毎時40km進む車は、2時間前には現在地から前方へ80kmの位置にいた。）

これを理解する方法の1つは、正数による乗算を、加算の繰り返しと見なすことである。3 × 2 は各グループが2を含む3つのグループと考える。したがって、3 × 2 = 2 + 2 + 2 = 6 であり、当然 ?2 × 3 = (?2) + (?2) + (?2) = ?6 である。

負数による乗算も、加算の繰り返しと見なすことができる。例えば、3 × ?2は各グループが?2を含む3つのグループと考えられる。3 × ?2 = (?2) + (?2) + (?2) = ?6

これは乗算の交換法則を満たすことに注意3 × ?2 = ?2 × 3 = ?6

「負数による乗算」と同じ解釈を負数に対しても適用すれば、以下のようになる。?4 × ?3 =   ? (?4) ? (?4) ? (?4)
=  4 + 4 + 4
=  12

しかし形式的な視点からは、2つの負数の乗算は、積の和に対する分配法則によって直接得られる。?1 × ?1 =  (?1) × (?1) + (?2) + 2
=  (?1) × (?1) + (?1) × 2 + 2
=  (?1) × (?1 + 2) + 2
=  (?1) × 1 + 2
=  (?1) + 2
=  1

除算

除算も乗算と同じく、負数で割ることは、正負の方向を逆転させることになる。負数を正数で割ると、商は負数のままとなる。しかし、負数を負数で割ると、商は正数となる。

被除数と除数の符号が異なるなら、商は負数となる。(?90) ÷ 3 = ?30

（負債\90を3人で分けると、負債\30ずつ継承される。）24 ÷ (?4) = ?6

（東を正数、西を負数とする場合：4時間後に東へ24km地点に進む車は、1時間前には西へ6kmの位置にいる。）

両方の数が同じ符号を持つなら、商は（両方が負数であっても）正数となる。(?12) ÷ (?3) = 4
累乗

累乗は乗算や除算と同じく、指数を正数にすると、「n乗」に倍増される。しかし、指数を負数にすると、「1 / n乗」に分割される。つまり、指数 n を正数にすると「n 回乗算を繰り返す」ことになるが、指数 n を負数にすると「n 回除算を繰り返す」ことになる。33 = 27

（×3 ×3 ×3 = 27）3?3 = 1/27

（÷3 ÷3 ÷3 = 1/27）360 × 23 = 2880

（360 ×2 ×2 ×2 = 2880）36 × 5?1 = 7.2

（36 ÷5 = 7.2）
負の整数と負でない整数の形式的な構成