数学、特に抽象代数学において、次数付き環（じすうつきかん、英: graded ring; 次数付けられた環）あるいは次数環とは R i R j ⊂ R i + j {\displaystyle R_{i}R_{j}\subset R_{i+j}} を満たすアーベル群 R i {\displaystyle R_{i}} の直和として表すことのできる環のことである[1]。多項式環の斉次多項式への分解を一般化した概念である。添え字集合は通常非負の整数の集合か整数の集合であるが、任意のモノイドあるいは群でもよい。直和分解は通常次数化（gradation）あるいは次数付け（grading）と呼ばれる。

次数（付き）加群（graded module）は同様に定義される（正確な定義は下を見よ）。これは次数付きベクトル空間の一般化である。次数付き環でもあるような次数付き加群は次数付き代数（graded algebra）と呼ばれる。次数付き環は次数付き Z-代数と見なすこともできる。

結合性は次数付き環の定義において重要でない（実は全く使われない）。したがってこの概念は非結合的多元環に対しても適用できる。例えば、次数付きリー環（英語版）を考えることができる。
目次

1 基本的な性質

2 次数付き加群

3 次数付き加群の不変量

4 次数付き多元環

5 G-次数環と多元環

6 反可換性

6.1 例


7 例

8 脚注

9 参考文献

10 関連項目

基本的な性質

A = ⨁ i ∈ N 0 A i = A 0 ⊕ A 1 ⊕ A 2 ⊕ ⋯ {\displaystyle A=\bigoplus _{i\in \mathbb {N} _{0}}A_{i}=A_{0}\oplus A_{1}\oplus A_{2}\oplus \cdots } を次数付き環とする。

A 0 {\displaystyle A_{0}} は A の部分環である[1]（とくに、加法の単位元 0 と乗法の単位元 1 は次数 0 の斉次元である）。

A + = ⨁ i ∈ N + A i = A 1 ⊕ A 2 ⊕ ⋯ {\displaystyle A_{+}=\bigoplus _{i\in \mathbb {N} _{+}}A_{i}=A_{1}\oplus A_{2}\oplus \cdots } は A {\displaystyle A} のイデアルとなる（これは自然な全準同型 f : A → A 0 {\displaystyle f:A\rightarrow A_{0}} の核であるため、 A 0 ≅ A / A + {\displaystyle A_{0}\cong A/A_{+}} となる）。

各 A i {\displaystyle A_{i}} は A 0 {\displaystyle A_{0}} -加群である[1]。

可換 N 0 {\displaystyle \mathbb {N} _{0}} -次数付き環 A = ⨁ i ∈ N 0 A i {\displaystyle A=\bigoplus _{i\in \mathbb {N} _{0}}A_{i}} がネーター環であるのは、 A 0 {\displaystyle A_{0}} がネーター的かつ A が A 0 {\displaystyle A_{0}} 上の多元環として有限生成であるとき、かつそのときに限る[2]。そのような環に対して、生成元を斉次にとることができる。

分解の任意の因子 A i {\displaystyle A_{i}} の元は次数 i の斉次元（homogeneous elements）と呼ばれる。 イデアルや他の部分集合 a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} ⊂ A が斉次（せいじ、homogeneous）であるとは次を満たすことである。任意の元 a ∈ a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} に対して、すべての ai を斉次元として a=a1+a2+...+an であるときに、すべての ai が a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} の元である。与えられた a に対し、これらの斉次元は一意的に定義され、a の斉次部分（homogeneous parts）と呼ばれる。I が A の斉次イデアルであれば、 A / I {\displaystyle A/I} も次数付き環であり、次の分解をもつ。 A / I = ⨁ i ∈ N 0 ( A i + I ) / I {\displaystyle A/I=\bigoplus _{i\in \mathbb {N} _{0}}(A_{i}+I)/I}

任意の（次数付きでない）環 A は A0 = A および i > 0 に対して Ai = 0 とすることによって次数付きにできる。これは A の自明な次数化（trivial gradation）と呼ばれる。
次数付き加群

加群論において対応する概念は次数付き加群 (graded module) である。すなわち次数付き環 A 上の左加群 M であって M = ⨁ i ∈ N 0 M i , {\displaystyle M=\bigoplus _{i\in \mathbb {N} _{0}}M_{i},}