数学における対象（図形）の次元（じげん、英: dimension）は、（やや不正確だが）その対象に属する点を特定するのに必要な座標の数の最小値として定まる。次元はその対象の内在的性質であって、その対象が「どのような空間に埋め込まれるか」ということとは無関係であることに注意すべきである。例えば、平面における単位円上の点は、平面上の点として二つの成分を持つ直交座標系によって特定することもできるけれども、極座標の偏角としての一つの座標のみによっても特定することができるので、単位円は（二次元の平面上に存在するものであるけれども）一次元の対象である。このような内在的な次取り扱いは、日常的な意味で用いられる「次元」とは異なる、数学的な意味での次元の概念を峻別するための根本的な観点である。
n-次元ユークリッド空間 En の次元は n である。このことを別な種類の空間に対して一般化しようとするとき、「En を n-次元たらしめるところのものはいったい何であるか」という問題に直面する。その一つの答えとして、En における球体を固定し、それを小さい半径 ε の球によって被覆するとき、被覆に必要な小さい球の数のオーダーが ε−n であることが挙げられる。この観点からはミンコフスキー次元あるいはより精緻なハウスドルフ次元の概念が導かれる。しかし、先ほどの問いの別な答えとして、例えば En における球体の境界が局所的に En−1 と見なせることを挙げれば、帰納次元の概念が導かれる。これらの次元の概念は En 上では一致するけれども、もっと一般の空間で考えたときには異なるということが起こりうる。
正八胞体（テッセラクト）は四次元図形の例である。数学と関係ない文脈では「正八胞体は四つの次元を持つ」というような「次元」の語の用例が見られるものの、数学用語としての用法では「正八胞体は次元 4 を持つ」とか「正八胞体の次元は 4 である」といったような表現になる。
高次元の概念自体はルネ・デカルトまで遡れるかもしれないけれども、実質的な高次元幾何学が形成され始めるのは19世紀に入ってから、ケイリー、ハミルトン、シュレーフリ、リーマンらの研究を通じてである。1854年にリーマンの Habilitationsschrift、1852年にシュレーフリの Theorie der vielfachen Kontinuitat、1843年にハミルトンの四元数の発見、ケイリー数の構成などによって、高次元幾何学の幕は開かれた。
以下、いくつか数学的に重要な次元の定義を説明する。
ベクトル空間の次元詳細は「次元 (ベクトル空間)」を参照
ベクトル空間の次元はその空間の基底ベクトルの数（つまり、その空間の任意のベクトルを指定するのに必要な座標の数）である。この基底の濃度としての次元の概念は、他の次元の概念と峻別する目的で、線型次元などとも呼ばれる。
多様体の次元的に n-次元ユークリッド空間と同相であるような位相空間のことで、n はその多様体の次元と呼ばれる。これが任意の連結位相多様体に対する次元の一意な定義を導くことが示せる。
幾何学的位相幾何学の分野では、一次元や二次元といった比較的初等的な部分における方法論にその特徴があり、次元が n > 4 となる高次元の場合は、考える対象に余計な自由度があることによって、むしろ単純化されてしまう。そして、n = 3 および 4 の場合がある意味で最も難しい。このような状況を示した実例として、一般化されたポワンカレ予想の各次元での解決がある（一般的な解決のために、四種の異なる証明法が用いられた）。
代数多様体の次元詳細は「代数多様体の次元（英語版） 」を参照
代数多様体の次元は様々な同値な方法で定義される。最も直感的な方法はおそらく任意の正則点における接空間の次元であろう。別の直感的な方法は、多様体との交叉が有限個の点（次元0）になってしまうために必要な超平面の個数として、次元を定義することである。この定義は、多様体の超平面との交叉は、超平面が多様体を含まない限り、多様体の次元から 1 下がるという事実に基づいている。
代数的集合は代数多様体の有限個の和集合であるから、その次元はその成分の次元の最大値である。それは与えられた代数的集合の部分多様体の鎖 V 0 ⊊ V 1 ⊊ … ⊊ V d {\displaystyle V_{0}\subsetneq V_{1}\subsetneq \ldots \subsetneq V_{d}} の最大の長さに等しい（そのような鎖の長さは " ⊊ {\displaystyle \subsetneq } " の個数である）。
各多様体は代数的スタック（英語版）と考えることができ、その多様体としての次元はスタックとしての次元と一致する。しかしながら多様体と対応しないスタックもたくさん存在し、これらの中には負の次元を持つものもある。具体的には、V が m 次元多様体で G が V に作用する n 次元の代数群 であれば、商スタック（英語版） [V/G] の次元は m − n である[1]。