この項目では、数学について説明しています。その他の用法については「リミット」をご覧ください。
.mw-parser-output .ambox{border:1px solid #a2a9b1;border-left:10px solid #36c;background-color:#fbfbfb;box-sizing:border-box}.mw-parser-output .ambox+link+.ambox,.mw-parser-output .ambox+link+style+.ambox,.mw-parser-output .ambox+link+link+.ambox,.mw-parser-output .ambox+.mw-empty-elt+link+.ambox,.mw-parser-output .ambox+.mw-empty-elt+link+style+.ambox,.mw-parser-output .ambox+.mw-empty-elt+link+link+.ambox{margin-top:-1px}html body.mediawiki .mw-parser-output .ambox.mbox-small-left{margin:4px 1em 4px 0;overflow:hidden;width:238px;border-collapse:collapse;font-size:88%;line-height:1.25em}.mw-parser-output .ambox-speedy{border-left:10px solid #b32424;background-color:#fee7e6}.mw-parser-output .ambox-delete{border-left:10px solid #b32424}.mw-parser-output .ambox-content{border-left:10px solid #f28500}.mw-parser-output .ambox-style{border-left:10px solid #fc3}.mw-parser-output .ambox-move{border-left:10px solid #9932cc}.mw-parser-output .ambox-protection{border-left:10px solid #a2a9b1}.mw-parser-output .ambox .mbox-text{border:none;padding:0.25em 0.5em;width:100%;font-size:90%}.mw-parser-output .ambox .mbox-image{border:none;padding:2px 0 2px 0.5em;text-align:center}.mw-parser-output .ambox .mbox-imageright{border:none;padding:2px 0.5em 2px 0;text-align:center}.mw-parser-output .ambox .mbox-empty-cell{border:none;padding:0;width:1px}.mw-parser-output .ambox .mbox-image-div{width:52px}html.client-js body.skin-minerva .mw-parser-output .mbox-text-span{margin-left:23px!important}@media(min-width:720px){.mw-parser-output .ambox{margin:0 10%}}

この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方）
出典検索?: "極限" ? ニュース ・ 書籍 ・ スカラー ・ CiNii ・ J-STAGE ・ NDL ・ dlib.jp ・ ジャパンサーチ ・ TWL（2015年10月）

数学においては、数列など、ある種の数学的対象をひとまとまりに並べて考えたものについての極限（きょくげん、英: limit）がしばしば考察される。直感的には、数の列がある値に限りなく近づくとき、その値のことを数列の極限あるいは極限値といい、この数列は収束するという。収束せず正の無限大、負の無限大、振動することを発散するという。

極限を表す記号として、lim (英語: limit, リミット、ラテン語: limes)という記号が一般的に用いられる。例えば次のように使う:

lim n → ∞ x n {\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}}

lim x → 0 sin ⁡ x x = 1 {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1}

数列の極限詳細は「数列の極限」を参照「収束級数」も参照

実数の数列が収束する (converge) あるいは有限の極限を持つ若しくは極限が有限確定であるとは、番号が進むにつれてその数列の項がある1つの値に限りなく近づいていくことをいう。このとき確定する値をその数列の極限値という。収束しない数列は発散する(diverge)といい、それらはさらに極限を持つものと持たないものに分かれる。発散する数列のうち極限を持つものには、正の無限大に発散するものと負の無限大に発散するものがあり、極限が確定しないものは振動する(oscillate)という。
数列の収束

自然数の逆数の列 1, .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1/2, 1/3, …, 1/n, … を考えると、n を限りなく大きくしていくと一般項 1/n は限りなく 0 に近づいていく。このときこの数列は 0 に収束するといい、このことを lim n → ∞ 1 n = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=0}

あるいは 1 n → 0 ( n → ∞ ) {\displaystyle {\frac {1}{n}}\to 0\quad (n\to \infty )}

と書く。

カール・ワイエルシュトラスは「限りなく近づく」という曖昧な表現は使わず、イプシロン-デルタ論法を用いて厳密に収束を定義した。これによれば、数列 {an} がある一定の値 α に収束するとは、次が成り立つことである（この場合はイプシロン-エヌ論法とも言う）: ∀ ε > 0 , ∃ n 0 ∈ N  s.t.  ∀ n ∈ N [ n > n 0 ⇒ 。 a n − α 。 < ε ] {\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists n_{0}\in \mathbb {N} {\text{ s.t. }}\forall n\in \mathbb {N} \left[n>n_{0}\Rightarrow |a_{n}-\alpha |<\varepsilon \right]} （どんなに小さな正の数 ε をとっても、その ε に対して適切な番号 n0 を十分大きく定めれば、n0 より先の番号 n に対する an は α から ε ほども離れない範囲に全部入るようにすることができる）

これを用いると、an = 1/n の極限値は 0 であることを以下のようにして示すことができる。（証明）自然数は上に有界でない（アルキメデスの性質）から、 ∀ ε > 0 , ∃ n 0 ; ∀ n [ n > n 0 ⟹ n > 1 ε ] . {\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists n_{0};\forall n\left[n>n_{0}\Longrightarrow n>{\frac {1}{\varepsilon }}\right].} 従って 。 1 n − 0 。 = 1 n < ε   ( n > n 0 ) ⟺ lim n → ∞ 1 n = 0. □ {\displaystyle \left|{\frac {1}{n}}-0\right|={\frac {1}{n}}<\varepsilon \ (n>n_{0})\Longleftrightarrow \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=0.\;\;{\mbox{□}}}
極限値の性質

数列が収束するとき、その極限値はただ一つに限る。 lim n → ∞ a n = α , lim n → ∞ a n = β ⟹ α = β {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\alpha ,\lim _{n\to \infty }a_{n}=\beta \Longrightarrow \alpha =\beta }

収束する数列から項を有限個取り除いても、得られた数列は同じ値に収束する。

収束する数列は数の集合として有界である。 lim n → ∞ a n = α ⟹ ∃ K > 0 ; ∀ n 。 a n 。 < K {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\alpha \Longrightarrow \exists K>0;\forall n\;|a_{n}|<K}

∀ n a n ≤ b n , lim n → ∞ a n = α , lim n → ∞ b n = β ⟹ α ≤ β {\displaystyle \forall n\;a_{n}\leq b_{n},\;\lim _{n\to \infty }a_{n}=\alpha ,\;\lim _{n\to \infty }b_{n}=\beta \Longrightarrow \alpha \leq \beta }

数列の発散

数列が収束しないとき、その数列は発散するという。特に、番号 n を限りなく大きくしていくとき、数列の項の値 an が限りなく大きくなることを、数列 {an} は正の無限大に発散するといい、 lim n → ∞ a n = ∞ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty }

または a n → ∞ ( n → ∞ ) {\displaystyle a_{n}\to \infty \;(n\to \infty )}

のように表す。イプシロン-エヌ論法では、数列の正の無限大への発散は、 ∀ K > 0 , ∃ n 0 ∈ N ; ∀ n ∈ N [ n > n 0 ⟹ a n > K ] {\displaystyle \forall K>0,\exists n_{0}\in \mathbb {N} ;\forall n\in \mathbb {N} \;{\bigg [}n>n_{0}\Longrightarrow a_{n}>K{\bigg ]}}

のように定式化される。

また、番号 n を限りなく大きくしていくとき、数列の項の値 an が限りなく小さくなることを、数列 {an} は負の無限大に発散するといい、 lim n → ∞ a n = − ∞ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=-\infty }

または、 a n → − ∞ ( n → ∞ ) {\displaystyle a_{n}\to -\infty \;(n\to \infty )}

と表す。数列 {an} が負の無限大へ発散することは、各項 an を反数にした数列 {bn} (bn = −an, n = 1, 2, 3, …) が正の無限大に発散することと同値である。