数学の実解析において、実数値関数の極値（きょくち、英: extremum[注 1]）とは、関数の局所的な最小値および局所的な最大値の総称である。関数の極値を求める問題は極値問題と呼ばれる。 n 次元ユークリッド空間 (Rn, d) の開集合 U 上で定義された実数値関数 f: U → R をとる[注 2]。関数 f を定義域 U に属する点 p のある ε 近傍に制限すると値 f(p) がその最小値であるとき、値 f(p) を関数 f の極小値（local minimum）といい、点 p を関数 f の極小点（local minimum point[1]）という。この条件は論理式を用いると ∃ ε > 0 [ ∀ q ∈ U [ d ( p , q ) < ε ⟹ f ( p ) ≤ f ( q ) ] ] {\displaystyle \exists \varepsilon >0[\forall q\in U[d(p,q)<\varepsilon \implies f(p)\leq f(q)]]} と表せる[注 3]。同様に関数 f を定義域 U に属する点 p のある ε 近傍に制限すると値 f(p) がその最大値であるとき値 f(p) を関数 f の極大値（local maximum）といい、点 p を関数 f の極大点（local maximum point[1]）という。 極小値と極大値を総称して極値（extremum）といい、極小点と極大点を総称して極値点という。 上の条件に現れる d(p, q) < ε ⇒ f(p) ≤ f(q) を 0 < d(p, q) < ε ⇒ f(p) < f(q) へ置き換えたとき、値 f(p) を関数 f の狭義の極小値（strict local minimum）という。同様に狭義の極大値（strict local maximum）も定義される。またこれらを総称して狭義の極値という。（ただし狭義の極値を単に極値と呼ぶこともあるので、実際に用いられている定義をよく確認する必要がある。） n 次元ユークリッド空間 Rn の開集合 U 上で定義された実数値関数 f: U → R をとり、これが微分可能であるとする。 定義域 U に属する点 p における関数 f の勾配 ∇ f ( p ) = [ ∂ f ∂ x 1 ( p ) , … , ∂ f ∂ x n ( p ) ] {\displaystyle \nabla f(p)={\bigg [}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(p),\dotsc ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(p){\bigg ]}} が 0 であるとき、点 p を関数 f の停留点（stationary point）あるいは臨界点（critical point）といい、値 f(p) を停留値（stationary value）あるいは臨界値（critical value）という。 点 p が関数 f の極値点であるためには、点 p が関数 f の停留点であることが必要である。 n 次元ユークリッド空間 Rn の開集合 U 上で定義された実数値関数 f: U → R をとり、これが2回連続微分可能であるとする。 関数 f の停留点 p におけるヘッセ行列 ∇ 2 f ( p ) = [ ∂ 2 f ∂ x 1 2 ( p ) ⋯ ∂ 2 f ∂ x 1 ∂ x n ( p ) ⋮ ⋱ ⋮ ∂ 2 f ∂ x n ∂ x 1 ( p ) ⋯ ∂ 2 f ∂ x n 2 ( p ) ] {\displaystyle \nabla ^{2}f(p)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}(p)&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{n}}}(p)\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\partial x_{1}}}(p)&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}(p)\end{bmatrix}}} が正の定符号（∇2 f(p) > 0）であるならば関数 f は点 p において狭義の極小値をとる[2]。またヘッセ行列 ∇2 f(p) が負の定符号（∇2 f(p) < 0）であるならば関数 f は点 p において狭義の極大値をとり、不定符号であるならば関数 f は点 p において極値をとらない（このとき点 p は関数 f の鞍点と呼ばれる）。 この方法[注 4]により、ヘッセ行列 ∇2 f(p) が特異行列で停留点 p が退化している場合を除けば、極値判定ができる。
定義
必要条件原点は関数 x3 の停留点ではあるが、極値点ではない。
十分条件原点は関数 x2 + y2, x2, x2 − y2 すべての停留点である。関数 x2 + y2 の原点におけるヘッセ行列は正の定符号であり、原点で関数 x2 + y2 は狭義の極小値をとる。また関数 x2 − y2 の原点におけるヘッセ行列は不定符号であり、原点は関数 x2 − y2 の鞍点である。一方で関数 x2 の原点におけるヘッセ行列は特異行列であり、原点で退化している。
注釈^ 複数形は不規則で extrema になる。
^ より一般に部分集合 E 上で定義された実数値関数をとり、その内点 p に対してのみ極値を定義することもある。
^ 値 m が関数 f の最小値であるとは値 m が像 f(U) の最小元であること、すなわち条件 [ ∃ p ∈ U [ m = f ( p ) ] ] ∧ [ ∀ q ∈ U [ m ≤ f ( q ) ] ] {\displaystyle [\exists p\in U[m=f(p)]]\land [\forall q\in U[m\leq f(q)]]} が成立することであった。したがって最小値は極小値である。
^ この極値判定法を英語では second derivative test と呼ぶこともある。
出典^ a b Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Maximum and minimum points”, Encyclopedia of Mathematics
