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「長円」はこの項目へ転送されています。仏師については「長円 (仏師)」をご覧ください。
円錐切断面の4つのタイプ（放物線（左）、楕円（中央）、円（中央）、双曲線（右））

楕円（だえん、正字: .mw-parser-output .lang-ja-serif{font-family:YuMincho,"Yu Mincho","ヒラギノ明朝","Noto Serif JP","Noto Sans CJK JP",serif}.mw-parser-output .lang-ja-sans{font-family:YuGothic,"Yu Gothic","ヒラギノ角ゴ","Noto Sans CJK JP",sans-serif}橢圓、英: ellipse）とは、平面上のある2定点からの距離の和が一定となるような点の集合から作られる曲線である。

基準となる2定点を焦点という。円錐曲線の一種である。
概要

2つの焦点が近いほど楕円は円に近づき、2つの焦点が一致したとき楕円はその点を中心とした円になる。そのため円は楕円の特殊な場合であると考えることもできる。

楕円の内部に2焦点を通る直線を引くとき、これを長軸という。長軸の長さを長径という。長軸と楕円との交点では2焦点からの距離の差が最大となる。また、長軸の垂直二等分線を楕円の内部に引くとき、この線分を短軸という。短軸の長さを短径という。
用語

長軸と短軸の交点は楕円の中心と呼ばれる。

長軸を中心で分けた2つの線分は半長軸と呼ばれ、その長さを長半径という。

短軸を中心で分けた2つの線分は半短軸と呼ばれ、その長さを短半径という。

短径と長径の比は楕円率と呼ばれる。
楕円の長軸(緑線)と短軸(ピンク線)
楕円の方程式

2次元直交座標系で、原点 O が長軸と短軸の交点となる楕円は代数的に次のように書ける。これを標準形という。 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1. {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.}

a > b > 0 のとき、2a は長軸の長さ（長径）、2b は短軸の長さ（短径）となる。xy 平面上にグラフを書くと横長の楕円となる。また、焦点はx 軸上にあり、その座標は ( a 2 − b 2 , 0 ) , ( − a 2 − b 2 , 0 ) {\displaystyle \left({\sqrt {a^{2}-b^{2}}},0\right),\left(-{\sqrt {a^{2}-b^{2}}},0\right)} となる。

b > a > 0 のときは逆に、2b が長軸の長さ（長径）、2a が短軸の長さ（短径）となる。したがって、xy 平面上にグラフを書くと縦長の楕円となる。また、焦点は y 軸上にあり、その座標は ( 0 , b 2 − a 2 ) , ( 0 , − b 2 − a 2 ) {\displaystyle \left(0,{\sqrt {b^{2}-a^{2}}}\right),\left(0,-{\sqrt {b^{2}-a^{2}}}\right)} となる。(a = bの時は円となる)

頂点の座標は a ≠ b のとき ( ± a , 0 ) , ( 0 , ± b ) {\displaystyle (\pm a,0),(0,\pm b)} となる。

同じ楕円は、t を媒介変数とする媒介変数表示では、次のように表現できる。 x = a cos ⁡ t {\displaystyle x=a\,\cos t} y = b sin ⁡ t {\displaystyle y=b\,\sin t} 0 ≤ t < 2 π {\displaystyle 0\leq t<2\pi }

ただし、t は (x,y) ベクトルのx軸に対する角度ではない（天体力学では離心近点角と呼ばれる）。「緯度#更成緯度 (reduced latitude)」も参照媒介変数表示により表された楕円上の点Pと媒介変数tの関係。tは点Pとx軸の角度とは異なる。

また、 u = tan ⁡ ( t / 2 ) {\displaystyle u=\tan(t/2)} と置くと、 cos ⁡ ( t ) = 1 − u 2 1 + u 2 sin ⁡ ( t ) = 2 u 1 + u 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\cos(t)&={\frac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}\\\sin(t)&={\frac {2u}{1+u^{2}}}\end{aligned}}}

となるので、下記の表現でも楕円を表すことができる。この場合uの範囲は[0,1]である。 x = a ( 1 − u 2 ) 1 + u 2 y = 2 b u 1 + u 2 {\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {a(1-u^{2})}{1+u^{2}}}\\y&={\frac {2bu}{1+u^{2}}}\end{aligned}}}

複素平面Cにおいては,Cの二点 a 1 , a 2 {\displaystyle a_{1},a_{2}} からの点 z {\displaystyle z} への距離 r 1 , r 2 {\displaystyle r_{1},r_{2}} の和が l {\displaystyle l} であるものの軌跡である。 r 1 , 2 = 。 z − a 1 , 2 。 r 1 + r 2 = l {\displaystyle {\begin{aligned}&r_{1,2}=|z-a_{1,2}|\\&r_{1}+r_{2}=l\end{aligned}}}
楕円の幾何学的諸量