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出典検索?: "位取り記数法"
位取り記数法（くらいどりきすうほう、（英: positional notation）とは、いくつかの数字を並べて数を表す方法である（例：123、3.14、3;8,24）。
数字ないし決まった文字数の数字列の置かれた位置を位（くらい）または桁（けた）[注 1]と呼び[2]、数字の位を決めることを位取りという。
一つの桁を N 種の数字列の組み合わせで表す位取り記数法をN 進位取り記数法（エヌしんくらいどりきすうほう）あるいは単に N 進法（エヌしんほう）[注 2]と呼ぶ。また、数 N を基数（きすう、（英: radix）[注 3]ないし底（てい、（英: base）と呼ぶ。例えば、一般的に用いられる 0 から 9 までのアラビア数字による記数法は十進法にあたる。十進法でない例として、時刻や角度を表す単位の分や秒は六十進法が使われている。またコンピュータの分野においては数値表現に二進法とその派生である八進法や十六進法がしばしば用いられる。
位取り記数法は古代中国に由来する。中国では紀元前14世紀の商時代にすでに十進法が用いられており、紀元前4世紀にはゼロを空位として記述する位取り記数法を用いていた。対してヨーロッパにおける最古の十進法が記述された文書は976年のスペインの手稿本である[3]。
本項では N が 2 以上の整数の場合を扱う。それ以外の場合については広義の記数法の記事を参照のこと。また後述するp 進数の概念とは（関連があるものの）別概念であるので注意が必要である。
記法「記数法」も参照
2 以上の整数 N を底（基数）とする位取り記数法（N 進法）において、それぞれの位の値は 0 から N − 1 までの N 個の非負の整数に対応した数字で表される（例：1234567890、一二三四五六七八九〇）[4][5]。非負の数は位取り記数法によって、以下のように表される[5]： d m − 1 ⋯ d 1 d 0 ⏟ integer part . ⏟ radix point d − 1 d − 2 ⋯ ⏟ fractional part . {\displaystyle \underbrace {d_{m-1}\cdots d_{1}d_{0}} _{\text{integer part}}\underbrace {.} _{\text{radix point}}\underbrace {d_{-1}d_{-2}\cdots } _{\text{fractional part}}\,.}
ここで dk ∈ {0, ... , N − 1} は位の値[6]を表し、添字 k はここでは Nk[注 4]の位の冪指数を表す。添字 k が 0 以上の位の値の並びは整数を表し整数部（英: integer part）と呼ばれる。添字 k が −1 以下の位の値の並びは小数部（英: fractional part）と呼ばれる。整数部と小数部は小数点[注 5]（英: radix point）によって区切られる（例：123.456）。もし位取り記数法で表される数が整数ならば、小数点は書かなくともよい（例：123）。m は整数部の桁数を表す。小数部について、k = −1, −2 , ... の位はそれぞれ順に小数第一位、第二位、……と呼ばれる[7]。
また負の数は負符号（−）を数字列の前方につけて表す[8][9]（例：−123.456、−123）： − d m − 1 ⋯ d 1 d 0 . d − 1 d − 2 ⋯ . {\displaystyle -d_{m-1}\cdots d_{1}d_{0}.d_{-1}d_{-2}\cdots \,.}
位取り記数法による数の表示は、底の冪 Nk とその位の値 dk の積の和の略記と見なせる： d m − 1 ⋯ d 1 d 0 . d − 1 d − 2 ⋯ = ∑ k m − 1 d k N k . {\displaystyle d_{m-1}\cdots d_{1}d_{0}.d_{-1}d_{-2}\cdots =\sum _{k}^{m-1}d_{k}N^{k}\,.}
ここで右辺の和の記号は以下を表す： ∑ k m − 1 d k N k = d m − 1 N m − 1 + ⋯ + d 1 N + d 0 + d − 1 N − 1 + ⋯ . {\displaystyle \sum _{k}^{m-1}d_{k}N^{k}=d_{m-1}N^{m-1}+\dotsm +d_{1}N+d_{0}+d_{-1}N^{-1}+\dotsm {}\,.}
例えば、十進法における 123.45 は、 123.45 = 1 ⋅ 10 2 + 2 ⋅ 10 1 + 3 ⋅ 10 0 + 4 ⋅ 10 − 1 + 5 ⋅ 10 − 2 = 100 + 20 + 3 + 4 10 + 5 100 {\displaystyle {\begin{aligned}123.45&=1\cdot {10}^{2}+2\cdot {10}^{1}+3\cdot {10}^{0}+4\cdot {10}^{-1}+5\cdot {10}^{-2}\\&=100+20+3+{\frac {4}{10}}+{\frac {5}{100}}\end{aligned}}}
と展開できる。
小数部の位の値は有限個の場合もあれば、そうでない場合もある。N 進法で循環小数となるような有理数や、無理数は有限の桁数では表せないため、末尾に省略記号（…）を付けて有限桁でないことを示す（例：円周率 π の十進展開 π = 3.14159...）。
