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根二乗平均速度（こんにじょうへいきんそくど、英: root-mean-square speed）とは、速度の絶対値の二乗平均平方根、すなわち速度の大きさの二乗 v 2 の統計集団平均 ⟨ v 2 ⟩ {\displaystyle \langle v^{2}\rangle } の平方根 ⟨ v 2 ⟩ {\displaystyle {\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}} である。ここで速度 v の大きさ v は v の内積によって定められる。 v = 。 v 。 := v ⋅ v . {\displaystyle v=|{\boldsymbol {v}}|:={\sqrt {{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {v}}}}\,.}

根二乗平均速度は気体分子運動論などの議論において現れる。

速度の分散 。 σ ( v ) 。 2 {\displaystyle |\sigma ({\boldsymbol {v}})|^{2}} は速度の平均 ⟨ v ⟩ {\displaystyle \langle {\boldsymbol {v}}\rangle } と速度の二乗平均 ⟨ v 2 ⟩ {\displaystyle \langle v^{2}\rangle } を用いて以下のように書き表すことができる。 。 σ ( v ) 。 2 = ⟨ v 2 ⟩ − ⟨ v ⟩ ⋅ ⟨ v ⟩ . {\displaystyle |\sigma ({\boldsymbol {v}})|^{2}=\langle v^{2}\rangle -\langle {\boldsymbol {v}}\rangle \cdot \langle {\boldsymbol {v}}\rangle \,.}

もしも速度の平均 ⟨ v ⟩ {\displaystyle \langle {\boldsymbol {v}}\rangle } が 0 ならば、二乗平均 ⟨ v 2 ⟩ {\displaystyle \langle v^{2}\rangle } は分散と一致する。このとき根二乗平均速度 ⟨ v 2 ⟩ {\displaystyle {\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}} は速度のゆらぎの大きさ 。 σ ( v ) 。 {\displaystyle |\sigma ({\boldsymbol {v}})|} に等しい。 ⟨ v 2 ⟩ = 。 σ ( v ) 。 ( ⟨ v ⟩ = 0 ) . {\displaystyle {\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}=|\sigma ({\boldsymbol {v}})|\quad (\langle {\boldsymbol {v}}\rangle ={\boldsymbol {0}}).}

従って根二乗平均速度から、巨視的な流れがないような系において、熱的なゆらぎに起因する速度の大きさを評価することができる。
例
気体分子運動論

気体分子運動論における、単原子分子の二乗平均速度は次のように表される。 ⟨ v 2 ⟩ = 3 R T M . {\displaystyle {\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}={\sqrt {\frac {3RT}{M}}}\,.}

ここで、R ≈ 8.314 J/(K · mol) は気体定数、T は熱力学温度、M は分子量である。ボルツマン定数 k B ≈ 1.381 × 10-23 J/K とアヴォガドロ定数 N A ≈ 6.022 × 1023 /mol, および分子質量 m を用いると、ボルツマン定数と分子量の定義より、 R = k B N A , M = m N A {\displaystyle R=k_{\mathrm {B} }N_{\mathrm {A} },\quad M=mN_{\mathrm {A} }}

という関係が成り立つので、以下のように書き直される。 ⟨ v 2 ⟩ = 3 k B T m . {\displaystyle {\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}={\sqrt {\frac {3k_{\mathrm {B} }T}{m}}}\,.}

この関係から直ちに、1 単原子分子が持つ平均の運動エネルギーは温度に比例することが分かる。 ⟨ 1 2 m v 2 ⟩ = 3 2 k B T . {\displaystyle \langle {\frac {1}{2}}mv^{2}\rangle ={\frac {3}{2}}k_{\mathrm {B} }T\,.}
導出

単原子分子の理想気体の内部エネルギー U (T ) は以下の関係を満たす。 U ( T ) = 3 2 n R T .     ⋯     ( 1 ) {\displaystyle U(T)={3 \over 2}nRT\,.~~\cdots ~~(1)}

ここで n は系のモル数である。これをボルツマン定数 k B と気体分子の個数 N を用いて書き直せば、n = N/N A なので、 U ( T ) = 3 2 N k B T     ⋯     ( 2 ) {\displaystyle U(T)={3 \over 2}Nk_{\mathrm {B} }T~~\cdots ~~(2)}

となる。理想気体の持つエネルギーは気体分子の持つエネルギーの総和に等しく、気体分子の持つエネルギーは運動エネルギーのみなので、次の関係を満たす。 U ( T ) = N ⟨ 1 2 m v 2 ⟩ .     ⋯     ( 3 ) {\displaystyle U(T)=N\langle {\frac {1}{2}}mv^{2}\rangle \,.~~\cdots ~~(3)}

(2), (3) の右辺同士を比較すれば、 N ⟨ 1 2 m v 2 ⟩ = 3 2 N k B T {\displaystyle N\langle {\frac {1}{2}}mv^{2}\rangle ={3 \over 2}Nk_{\mathrm {B} }T}

より、根二乗平均速度と温度の関係式が得られる。 ⟨ v 2 ⟩ = 3 k B T m .     ⋯     ( 4 ) {\displaystyle {\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}={\sqrt {\frac {3k_{\mathrm {B} }T}{m}}}\,.~~\cdots ~~(4)}
脚注
注釈
出典
関連項目

統計力学

気体分子運動論

理想気体

理想気体の状態方程式

マクスウェル分布

ボルツマン分布

二乗平均平方根