数学において，級数あるいは積分が条件収束（じょうけんしゅうそく）するとは，収束するが絶対収束しないことをいう．
定義

正確には，級数 ∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}

が条件収束する (converge conditionally) とは， lim m → ∞ ∑ n = 0 m a n {\displaystyle \lim _{m\to \infty }\sum _{n=0}^{m}a_{n}}

が存在して有限の数である（∞ や −∞ ではない）が， ∑ n = 0 ∞ 。 a n 。 = ∞ {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left|a_{n}\right|=\infty }

であることをいう．

古典的な例は次の交代級数 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + 1 5 − ⋯ = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n {\displaystyle 1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots =\sum \limits _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n+1} \over n}}

であり，これは log 2 に収束するが，絶対収束しない（調和級数を参照）．

ベルンハルト・リーマン (Bernhard Riemann) はリーマンの級数定理（英語版）と呼ばれる次の定理を証明した．条件収束する級数は，項の順序を入れ替えることによって，∞ や −∞ を含むどんな和にも収束させることができる．

典型的な条件収束積分は sin(x2) の非負の実軸上の積分である（フレネル積分を参照）．
関連項目

絶対収束

無条件収束

参考文献

Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis (McGraw-Hill: New York, 1964).


更新日時:2016年9月20日(火)06:42
取得日時:2018/10/18 07:44