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を翻訳することにより充実させることができます。(2023年10月)翻訳前に重要な指示を読むには右にある[表示]をクリックしてください。最小公倍数(さいしょうこうばいすう、英: least common multiple)とは、 0 {\displaystyle 0} ではない複数の整数の公倍数のうち最小の自然数を指す。度々、L.C.M.やlcm等の省略形で記述される。 2つ以上の整数 a 1 , … , a n {\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}} の最小公倍数とは、 a 1 , … , a n {\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}} の公倍数のうち最小の正整数である。 つまり、 a 1 , … , a n {\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}} を、素数 (prime) p を用いて a j = ε j ∏ p : p r i m e p e p ( j ) ( e p ( j ) ≥ 0 , ε j = ± 1 ) {\displaystyle a_{j}=\varepsilon _{j}\prod _{p:\,\mathrm {prime} }p^{e_{p}(j)}\ \ \ (e_{p}(j)\geq 0,\ \ \varepsilon _{j}=\pm 1)} と素因数分解したとき、 a 1 , … , a n {\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}} の最小公倍数は ∏ p : p r i m e p max { e p ( 1 ) , … , e p ( n ) } {\displaystyle \prod _{p:\,\mathrm {prime} }p^{\max\{e_{p}(1),\ldots ,e_{p}(n)\}}} で与えられる。 例えば、12 と 16 の最小公倍数は 48 である。12 = 22×3116 = 2448 = 24×31 公倍数は最小公倍数の倍数である。 証明 a , b , c , ⋯ , z {\displaystyle a,b,c,\cdots ,z} の最小公倍数を l {\displaystyle l} とする. a , b , c , ⋯ , z {\displaystyle a,b,c,\cdots ,z} の一般の公倍数を m {\displaystyle m} とし, m = q l + r , ( 0 < r < l ) {\displaystyle m=ql+r,\quad (0<r<l)} と置く。変形して r = m − q l {\displaystyle r=m-ql} …@@右辺は m {\displaystyle m} は a , b , c , ⋯ , z {\displaystyle a,b,c,\cdots ,z} の公倍数、 l {\displaystyle l} も同じく a , b , c , ⋯ , z {\displaystyle a,b,c,\cdots ,z} の公倍数。よって@の左辺 r {\displaystyle r} は a , b , c , ⋯ , z {\displaystyle a,b,c,\cdots ,z} の公倍数になる。しかし 0 < r < l {\displaystyle 0<r<l} となり、最小公倍数 l {\displaystyle l} よりも一般公倍数 r {\displaystyle r} が小さく矛盾.すなわち r = 0 {\displaystyle r=0} 。よって公倍数 m = q l {\displaystyle m=ql} であり最小公倍数の倍数となっている.(証明終) g c d ( a , b ) ⋅ l c m ( a , b ) = a b {\displaystyle \mathrm {gcd} (a,\ b)\cdot \mathrm {lcm} (a,\ b)=ab} という関係がある。 しかし、この関係式は3つ以上の正整数に対しては一般には成立しない。例えば、 a = 2 , b = 6 , c = 15 {\displaystyle a=2,\ b=6,\ c=15} とすると、 g c d ( a , b , c ) = 1 , l c m ( a , b , c ) = 30 {\displaystyle \mathrm {gcd} (a,\ b,\ c)=1,\ \mathrm {lcm} (a,\ b,\ c)=30} であるが、 a b c = 180 {\displaystyle abc=180} である。 多項式の 0 {\displaystyle 0} でない公倍数のうち、最も次数の低いものを最小公倍数という。例えば、 x 3 − x {\displaystyle x^{3}-x} と x 3 + x 2 − x − 1 {\displaystyle x^{3}+x^{2}-x-1} の最小公倍数は x ( x + 1 ) 2 ( x − 1 ) {\displaystyle x(x+1)^{2}(x-1)} である。 多項式の最小公倍数は定数倍を除いて1つしか存在しない。
定義
諸概念
正整数 a , b {\displaystyle a,\ b} に対して、 a {\displaystyle a} と b {\displaystyle b} の最大公約数 g c d ( a , b ) {\displaystyle \mathrm {gcd} (a,\ b)} と最小公倍数 l c m ( a , b ) {\displaystyle \mathrm {lcm} (a,\ b)} との間には
多項式の最小公倍数
参考文献
高木貞治『初等整数論講義第2版』共立出版、東京、1971年。
関連項目.mw-parser-output .side-box{margin:4px 0;box-sizing:border-box;border:1px solid #aaa;font-size:88%;line-height:1.25em;background-color:#f9f9f9;display:flow-root}.mw-parser-output .side-box-abovebelow,.mw-parser-output .side-box-text{padding:0.25em 0.9em}.mw-parser-output .side-box-image{padding:2px 0 2px 0.9em;text-align:center}.mw-parser-output .side-box-imageright{padding:2px 0.9em 2px 0;text-align:center}@media(min-width:500px){.mw-parser-output .side-box-flex{display:flex;align-items:center}.mw-parser-output .side-box-text{flex:1}}@media(min-width:720px){.mw-parser-output .side-box{width:238px}.mw-parser-output .side-box-right{clear:right;float:right;margin-left:1em}.mw-parser-output .side-box-left{margin-right:1em}}プロジェクト 数学
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