普遍代数学 - 暇つぶしWikipedia

普遍代数学

数学の一分野としての普遍代数学（ふへんだいすうがく、英: Universal algebra）あるいは一般代数学（いっぱんだいすうがく、英: general algebra）は、構造の「モデル」となる例についてではなく代数的構造そのものについて研究する分野である。例えば、その研究対象として個々の群を考えるのではなく群論そのものをその研究対象とするのである。
基本的な考え方

普遍代数学でいう代数 (algebra)（代数系）あるいは代数的構造 (algebraic structure) とは、集合 A に A 上の演算（算法）を合わせて考えたものを言う。A 上の n-項演算とは、A の n 個の元を引数に取り、A の一つの元を返す写像である。従って零項演算は単に A の元のこと、あるいは定数を意味することになる（これはしばしば a などのラテン小文字で表される）。単項演算は単に A から A への写像のことであり、これはその引数のまえに ~x のように記号を置くことでしばしば表される。二項演算はしばしば中置記法に従って x * y のように引数の間に記号を置く。多変数（項数は不特定でもいい）の場合には、通常の写像の記法に従って、引数をコンマで区切ってパーレンで括った f(x,y,z) や f(x1,...,xn) のような書き方をする。特定の場面では、無限項演算（英語版）が意味を持つ場合もあり、適当な無限添字集合 J を用いて ⋀ α ∈ J x α {\displaystyle \textstyle \bigwedge _{\alpha \in J}x_{\alpha }} のような記法が用いられることもある（完備束の代数理論など）。代数について言及する一つの方法は、どのような型 Ω の代数（英語版）であるかを明示することである。ここで Ω はその代数の演算のアリティ（項数）を表す自然数の順序組である。
等式系

演算を特定したあとは、その代数の内在的な性質というのは公理系によってさらに限局されることになるが、普遍代数学ではこういった公理系として等式（等式律、等式法則）によって与えるのが普通である。例えば、二項演算に対する結合性公理は等式 x * (y * z) = (x * y) * z によって定められる。この公理は集合 A の任意の元 x, y, z に対して満たされることが意図されている。
代数の多様性詳細は「バラエティ (普遍代数学)」を参照

等式によって定義することのできる代数的構造は、代数多様性として総称され、普遍代数学の一対象として代数多様性を研究するものもあれば、普遍代数学の研究対象は代数多様性のみ調べれば十分と考える者もある[要出典]。

代数多様性について調べるための制約として除かれるものとして:

述語論理、とりわけ普遍量化 ( ∀ {\displaystyle \forall } ) を含む量化。等式に用いることや限定量化 ( ∃ {\displaystyle \exists } ) はよい。

等式を除く全ての有限項関係。特に非等号 a ≠ b {\displaystyle a\neq b} と順序を含めた任意の不等式

この狭い意味での定義において普遍代数学は、典型的には演算のみをもつ構造のみを扱う（型（英語版）は函数の記号は含むが、等式以外の関係の記号は含まない）のであるから、これらの構造について述べる言葉としては等式のみを用いるような、モデル理論の特別な分科と考えることができる。

より広い意味で代数的構造を扱うならば、そのすべてがいま言ったような議論の範疇に収まることは期待できようはずもなく、例えば順序群は順序関係を含むから、普遍代数学の主流としては研究の対象にならない。

より基本的な制約として、普遍代数学では体のクラスを研究することはできない。これは、体の公理系をすべて等式として書くような型（つまり算号系）が存在しないことによる（逆元の存在は任意の「非零元」に対して定義されるから、この反転演算を型に単純に追加することができない）。

このような制約があることの利点は、普遍代数学において研究される構造が、有限積を持つ任意の圏において定義できることである。例えば、位相群は位相空間の圏における群（群対象（英語版））である。
例

数学における通常の代数系の大半は代数多様性の例だが、それらの定義には量化や不等式が用いられていることも普通なので、確かめるのは必ずしも明らかなことではない。
群

本節での説明が実際にはどのように用いられるのかを見るために、群の定義を考えよう。群の通常の定義は、一つの二項演算 ∗ に対する以下の公理系によって与えられる

結合律: x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z; （形式化すると ∀x,y,z. x ∗ (y ∗ z)=(x ∗ y) ∗ z)。

単位律: 元 e が存在して任意の元 x に対し e ∗ x = x = x ∗ e が成り立つ（形式化すると ∃e ∀x. e ∗ x = x = x ∗ e）。

反転律: 単位元は明らかに唯一であり、この唯一の単位元 e に対して各 x は x ∗ i = e = i ∗ x を満たす i を持つ（形式化すると ∀x ∃i. x ∗ i = e = i ∗ x）。

（文献によっては演算に対する「閉性律」と呼ばれる「x ∗ y がまた台集合 A に属する」という条件を設けるものもあるが、普遍代数学の観点ではこれは既に ∗ を二項演算と呼んだ時点で含まれている。）

この群の定義は普遍代数学の観点からは問題を孕むものになっている。それは、単位元と逆元に関する公理において、純粋に等式のみで与えられるのではなくて、「?であるような…が存在する」といった箇所があることである。これでは不便なので、零項演算 e と単項演算 ~ を追加して群の性質を普遍量化された等式のみで書き表そう。そうすれば、公理系は演算に対する以下の条件

結合性: x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z.

単位律: e ∗ x = x = x ∗ e; （形式化すると ∀x. e ∗ x = x = x ∗ e）.

反転律: x ∗ (~x) = e = (~x) ∗ x. （形式化すると ∀x. x ∗ ~x = e = ~x ∗ x）.

（もちろん ~x と書く代わりに通常の通り "x?1" と書いてもいい。これから分かるのは小さなアリティの演算の記法はいつも第二段落のような形であるとは限らないということ。）

普通の定義と何が変わったか並べると、

一つの二項演算（算号系が (2) で与えられる）

一つの等式法則（結合律）

二つの量化された法則（単位律と反転律）

だったものが、普遍代数学的な定義では

三つの演算: 一つは二項、一つは単項、一つは零項（算号系は (2,1,0) で与えられる）

三つの等式法則（結合律、単位律、反転律）

量化された法則は無し（変数に対する普遍量化は対象外）

になっている。

これでちゃんと群の定義が表せているのかということをチェックするのは重要なことである。普遍代数学的な意味での群を一つとってきたときに、通常の意味での群として取ってきたときよりも多くの情報が出てくるというようなことはあってはならない。通常の定義において単位元 e が一意であると断っている（一意でなく他の単位元 e′ が存在するなら零項演算 e の値であるところの元と紛らわしい）ことについて、普遍代数学的な定義では何も言っていないが、特段断らずとも一意性が出ることは古典的な群論の教科書における初歩的な練習問題になるようなことなので、問題でない。逆元についても同様である。故に、群の普遍代数学的な定義は通常の定義と同じものになる。

一見すると、量化された法則を等式律に書き換えることは単に形だけの違いにも思えるが、しかしこれは極めて実利的な結果である（圏論において群対象を定義しようとするとき、考えている圏の対象が集合でない場合には、それが元を持つわけではないために、量化された法則が意味を成さないということも起こり得る。そこで一般の圏で意味を持つ性質としての等式法則を使わなければならない）。さらに言えば、普遍代数学の観点は逆元や単位元が存在することのみならず、それが圏の射であることまで主張するのである。基本的な例である位相群では、逆元は各元に対して存在することのみならず、逆元を対応させる反転写像が連続写像となることを要求する（文献によっては単位元についても、零項演算としてそれが閉包含写像（英語版）したがって余ファイブレーション（英語版）となることを要求する。これもまた位相空間の圏での射の性質として言及できるものである）。
基本的な構成法

型 Ω はいま固定して考えるものとする。このとき三種類の基本的な構成、準同型像、部分代数、直積（あるいは積）について述べる。

二つの代数 A, B の間の準同型とは A から B への写像 h: A → B であって、A の任意の演算 fA に対して対応する（アリティ n が等しい）B の演算 fB が存在して h(fA(x1,...,xn)) = fB(h(x1),...,h(xn)) を満たすことを言う（文脈から明らかならば添字の類いはしばしば省略する）。例えば e が定数（零項演算）ならば h(eA) = eB が成り立つということであり、単項演算 ~ については h(~x) = ~h(x) が成り立つということであり、二項演算 ∗ ならば h(x ∗ y) = h(x) ∗ h(y) が成立するということであり、それ以上のアリティでも同様である。準同型について述べるべきことは、準同型の項目に書かれているような特定の種類の準同型同様に、それほどない。特に、代数の準同型像 h(A) は同種の代数になる。

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