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数学において、斜交行列（しゃこうぎょうれつ、英: symplectic matrix：シンプレクティック行列）は、2n×2n の行列 M （要素は、典型的には実数または複素数）であって、以下の条件を満たすものをいう。
tMΩM = Ω
ここで、 tM は M の転置を意味し、Ω はある固定された非特異な反対称行列である。Ω は、一般的には区分行列（block matrix）
Ω = [ 0 I n − I n 0 ] {\displaystyle \Omega ={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{bmatrix}}}
となる様に選ぶ。ここで、In は n×n 次の単位行列である。Ω の行列式は +1 であり、逆行列は Ω−1 = −Ω で与えられる。 すべての斜交行列は可逆であり、逆行列は下式で与えられる。 M−1 = Ω−1 tMΩ また、2 つの斜交行列の積はまた斜交行列になる。これにより、すべての斜交行列全体の集合は、群の構造を持つ。この群には、多様体としての構造が自然に入り、それにより、この群は、斜交群（シンプレクティック群ともいう）と呼ばれる（実または複素）リー群になる。斜交群は、 n(2n + 1) 次元である。 定義から直ちに、斜交行列の行列式が ±1 であることがわかる。実際は、行列式は常に +1 である。これは、パフィアン（英: Pfaffian）と以下の恒等式を使うことにより確認できる。 Pf(tMΩM) = det(M)Pf(Ω) tMΩM = Ω かつ Pf(Ω) ≠ 0 だから、 det(M) = 1 を得る。 Ω として標準的なものを取り、M は M = [ A B C D ] {\displaystyle M={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}} の形をした 2n×2n の行列だとする。ここに、A、B、C、D は n×n 行列である。M が斜交行列になる必要十分条件は、以下のすべてと同値である。 tAD − tCB = In n = 1 のときは、これらの条件は単一の条件 det(M) = 1 に単純化される。つまり、2×2 行列は、行列式が 1 のときに斜交行列となる。 線形代数の公理的な構成では、行列は有限次元ベクトル空間の線形変換に対応する。公理的な構成で斜交行列に対応するのは、斜交ベクトル空間（シンプレクティックベクトル空間ともいう）の斜交変換（しゃこうへんかん、英: symplectic transformation）である。簡単に言うと、斜交ベクトル空間は、非退化反対称二次形式 ω を備えた2n 次元のベクトル空間 V である。 このとき、斜交変換とは、ω を保存する、つまり下式を満たす線形変換 L : V → V である。 ω(Lu, Lv) = ω(u, v) V の基底を固定すると、ω は行列 Ω により、また L は行列 M により書くことができる。L が斜交変換になる必要十分条件は、以下により M が斜交行列になることである。 tMΩM = Ω 行列 A で表現される基底の取替えにより、以下が従う。 Ω ↦ t A Ω A {\displaystyle \Omega \mapsto {}^{t}A\Omega A} A を適当に選ぶことによって、何時でも Ω を標準形式のどれにすることもできる。 斜交行列は、ある固定された特異反対称行列 Ω に関して定義される。前節で記したように、Ω は非退化反対称二次形式の座標表現として考えることもできる。この様な任意の 2 つの行列は基底の変換により互いに異なるのは、線型代数の基本的結果である。 上記の Ω 標準形と異なる最も一般的な代替は、以下の区分対角形式である。 Ω = [ 0 1 − 1 0 0 ⋱ 0 0 1 − 1 0 ] {\displaystyle \Omega ={\begin{bmatrix}{\begin{matrix}0&1\\-1&0\end{matrix}}&&0\\&\ddots &\\0&&{\begin{matrix}0&1\\-1&0\end{matrix}}\end{bmatrix}}}
特徴
tAC = tCA
tBD = tDB
斜交変換
M ↦ A − 1 M A {\displaystyle M\mapsto A^{-1}MA}
行列 Ω
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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
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