数学における斉次函数（せいじかんすう、英: homogeneous function）[1]は、拡大縮小に関して「引数に因数が掛かれば値にその因子の適当な冪が掛かる」という乗法的な振る舞いをする函数をいう。よりはっきり書けば、体 F 上の二つのベクトル空間 V, W の間の写像 ƒ: V → W と整数 k に対して、写像 ƒ が斉 k-次（斉次次数 k）であるまたは k-次の斉次性を持つとは、 f ( α v ) = α k f ( v ) {\displaystyle f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {v} )}

を任意の零でないスカラー α ∈ F とベクトル v ∈ V に対して満たすことをいう。扱うベクトル空間が実係数の場合には、斉次性をもう少し一般にして、任意の α > 0 に対して上式を満たすことのみを仮定する場合も多い。

斉次函数はベクトル空間から原点を取り去ったものの上で定義することもでき、この事実は代数幾何学において射影空間上の層の定義において用いられている。より一般に、S ⊂ V が体の元によるスカラー乗法で不変な部分空間（「錐」）であるとき、S から W への斉次函数がやはり同じ式で定義できる。
目次

1 例示

1.1 線型写像

1.2 斉次多項式

1.3 偏極化

1.4 斉次有理函数


2 斉次でない例

2.1 対数函数

2.2 一次函数


3 正斉次性

4 斉次超函数

5 同次形微分方程式

6 関連項目

7 参考文献

8 脚注

9 外部リンク

例示 この例のように、斉次函数は必ずしも連続函数ではない。この f は : f ( x , y ) = { x if  x y > 0 0 if  x y ≤ 0 {\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}x&{\text{if }}xy>0\\0&{\text{if }}xy\leq 0\end{cases}}} で定義される函数である。この函数は斉 1-次、即ち f(α(x,y)) = αf(x,y) を任意の実数 α および x, y に対して満たす。この函数は y = 0 において不連続である。
線型写像

任意の線型写像 ƒ: V → W は定義に云う線型性 f ( α v ) = α f ( v ) ( α ∈ F , v ∈ V ) {\displaystyle f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha f(\mathbf {v} )\quad (\alpha \in F,v\in V)}

によって次数 1 の斉次性を持つ。同様に、多重線型写像 ƒ: V1 × V2 × … × Vn → W は重線型性の定義により f ( α ( v 1 , … , v n ) ) = f ( α v 1 , … , α v n ) = α n f ( v 1 , … , v n ) {\displaystyle f(\alpha (\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}))=f(\alpha \mathbf {v} _{1},\ldots ,\alpha \mathbf {v} _{n})=\alpha ^{n}f(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})}

を満たすから、斉次次数 n の斉次函数である。ここから、二つのバナッハ空間 X と Y の間の函数ƒ: X → Y の n次-ガトー微分が斉 n^次であることが従う。
斉次多項式詳細は「斉次多項式 (代数幾何学)」を参照

n-変数の単項式は斉次函数 ƒ: Fn → F を定める。例えば f ( x , y , z ) = x 5 y 2 z 3 {\displaystyle f(x,y,z)=x^{5}y^{2}z^{3}}

が次数 10 の斉次函数であることは f ( α ( x , y , z ) ) = f ( α x , α y , α z ) = ( α x ) 5 ( α y ) 2 ( α z ) 3 = α 10 x 5 y 2 z 3 = α 10 f ( x , y , z ) {\displaystyle f(\alpha (x,y,z))=f(\alpha x,\alpha y,\alpha z)=(\alpha x)^{5}(\alpha y)^{2}(\alpha z)^{3}=\alpha ^{10}x^{5}y^{2}z^{3}=\alpha ^{10}f(x,y,z)}

からわかる。単項式の（斉次）次数は各変数の冪指数の総和に等しい（今の例だと 10=5+2+3）。

斉次多項式は同じ次数の単項式の和として得られるものを言う。例えば x 5 + 2 x 3 y 2 + 9 x y 4 {\displaystyle x^{5}+2x^{3}y^{2}+9xy^{4}}

は 5-次の斉次多項式である。斉次多項式もまた斉次函数を定める。
偏極化

ベクトル空間 V の n-次デカルト冪から係数体 F への多重線型写像 g: V × V × … × V → F に対して、対角集合上での評価 f ( v ) = g ( v , v , … , v ) {\displaystyle f(v)=g(v,v,\dots ,v)}