数学における整数列(せいすうれつ、英: integer sequence, sequence of integers)は、整数からなる数列(数の順番付けられた並び)を言う。
整数列を特定する方法は、その第 n-項を与える「陽」(explicit) な仕方や、それらの項の間の関係性を与える「陰」(implicit) な仕方などがある。例えばフィボナッチ数列 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … は「0, 1 から始まって、必ず連続する二つの項の和が次の項になっている」という陰伏的な記述ができる。陽な記述の仕方の例として、「第 n-項が n2 − 1 で与えられる」数列は 0, 3, 8, 15, … のように書ける。
もっと別な特定の仕方として、その数列に属する数は持っているけれどもそうではない整数は持っていないような性質を与えるという方法がある。例えば、与えられた整数が完全数であるかどうかは(n 番目の完全数を表す公式を知らなくとも)決定することができる。 整数列の中でも特別な名前のついているものをいくつか挙げる: 整数列が計算可能であるとは、任意の n > 0 に対して、n が与えられれば an を計算するアルゴリズムが存在するときに言う。計算可能整数列全体の成す集合は可算である。一方、整数列全体の成す集合は非可算(実はその濃度は連続体濃度 ?1)であるから、どの整数列でも計算可能というわけにはいかない。 整数列の中には定義を持つものはあるけれども、普遍的にあるいは絶対的な(つまりモデルに依存しない)意味で整数列が定義可能であるということの意味を定める系統的な方法は存在しない。 集合 M が ツェルメロ–フレンケル集合論 の推移モデル
例
ウォルステンホルム数
ウラム数列
オイラー数列
カーマイケル数列
階乗数列
過剰数列
カタラン数列
完全数列
疑似完全数列
擬素数列
偶数列・奇数列
幸運数列
合成数列
高度合成数列
高度トーシェント数列
コーラコスキー数列(英語版)
ゴロム数列(英語版)
ジャグラー数列(英語版)
図形数列
正則折り紙数列(英語版)
素数列
超完全数列
トゥエ–モース数列(英語版)
二項係数列
ハイパー完全数列
バウム–スウィート数列(英語版)
ハッピー数列
パドヴァン数列
半素数列
フィボナッチ数列
フィボナッチ列
不思議数列
不足数列
分割数列
ベル数列
ホーム素数(英語版)列
モツキン数列
リュカ数列
ルディン–シャピロ数列(英語版)
計算可能列と決定可能列
ZFC の適当な推移モデル M に対して、M 内の任意の整数列が M に関して定義可能となるが、それ以外の場合には一部の整数列しかそのモデルに関して定義可能にならない[1]。M それ自身を M に関する定義可能列全体の成す集合と定める体系的な方法はなく、またそのような集合が適当な M の中にさえ存在しない可能性もある。同様に、M の中で整数列を定義する条件式全体の成す集合からそれら条件式の定義する数列全体の成す集合への写像は M の中で定義可能でなく、また M の中に存在しないかもしれない。しかしながら、そのような決定可能性写像を備えた任意のモデルにおいて、そのモデル内の整数列でそのモデルに関して決定可能でないものが存在する[1]。
M が全ての整数列を含むならば、M 内の決定可能整数列全体の成す集合は M 内に存在して可算かつ M 内で可算である。 正の整数列が完全数列
完全数列
関連項目
オンライン整数列大辞典 (On-Line Encyclopedia of Integer Sequences)
オンライン整数列大辞典のリスト
参考文献^ a b Hamkins, Linetsky & Reitz 2013.
Hamkins, Joel David; Linetsky, David; Reitz, Jonas (2013), “Pointwise Definable Models of Set Theory”, Journal of Symbolic Logic 78 (1): 139?156, arXiv:1105.4597, doi:10.2178/jsl.7801090 .
外部リンク.mw-parser-output .side-box{margin:4px 0;box-sizing:border-box;border:1px solid #aaa;font-size:88%;line-height:1.25em;background-color:#f9f9f9;display:flow-root}.mw-parser-output .side-box-abovebelow,.mw-parser-output .side-box-text{padding:0.25em 0.9em}.mw-parser-output .side-box-image{padding:2px 0 2px 0.9em;text-align:center}.mw-parser-output .side-box-imageright{padding:2px 0.9em 2px 0;text-align:center}@media(min-width:500px){.mw-parser-output .side-box-flex{display:flex;align-items:center}.mw-parser-output .side-box-text{flex:1}}@media(min-width:720px){.mw-parser-output .side-box{width:238px}.mw-parser-output .side-box-right{clear:right;float:right;margin-left:1em}.mw-parser-output .side-box-left{margin-right:1em}}ウィキメディア・コモンズには、整数列に関連するカテゴリがあります。
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Definition:Integer Sequence at ProofWiki
発散級数
1 + 1 + 1 + 1 + ?
1 + 2 + 3 + 4 + ?
無限算術級数
等比数列
収束級数
'"`UNIQ--templatestyles-0000000C-QINU`"'1/2 ? 1/4 + 1/8 ? 1/16 + ?
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ?
1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ?
発散級数
1 + 1 + 1 + 1 + ?