文法用語については「数 (文法)」をご覧ください。

数（かず、すう、英: number）とは、

ものの順序を示す語[1]。また、その記号[1]・数字[1]。

個々の物（もの）や事（こと）が、（全体または一定の範囲で）いくつあるか（あるいは何回おきるか）ということを表すもの[1]。

ITなど特定の分野においては「数値（すうち）」ともいう。
数の概念
数の体系
数概念の拡張の歴史

数の概念は人類の歴史とともに、非常に長い年月をかけて、ゆっくりと、徐々に、拡張されてきた。

もっとも素朴な数は、ものの順番や個数としての自然数である。つまり「1, 2, 3, ....」などという数である。

その自然数に加えて、古代バビロニアや古代インドにおいて、現代で言う「ゼロ」に似たような概念を使おうとする人が現れた。なお、「1, 2, 3, 4, 5...」という概念しか知らなかったところに加えて、「ゼロ」という概念を発明し 数を拡張したことは、数学の長い歴史の中でも特に大きな跳躍だった、とされることがある。「無い」ということを「ひとつの概念」として扱おうとしたこと、つまり、（最初は引き算などの中で）自然数では表記できない事例に遭遇した時に、単に文章の中で「（何かが）無い」「...をすると、（ちょうど、それが）無くなる」などの表現をして終わらせるのでなく、その状態を「ひとつの概念」として意識を向けてそれを扱おうとしたことや、特定の記号でその概念を表現しようとしたことや、その状態まで含めて（大胆にも）「『数』の一種」だと位置付けようとしたこと、などが行われたことによってはじめて、（ゼロを発明した当時、発明した人も、そんな展開になるとは夢にも思っていなかったであろうが）現代の広大な数の体系へと続く長い道のりが始まった。そもそも先例も無く、思考の足掛かりらしい足掛かりも無いのに、「ゼロ」という概念の萌芽のようなものを最初に思いつく、ということ自体が人類にとって非常に大変なことであった。また、「無い」ことを概念として本当に扱ってよいのか？思考の対象として良いのか？良くないのか？ ということすら良く判らず、非常に長い間、得体の知れない、不気味な概念だった。また、（現在の「ゼロ」に比べれば不完全な形ながらも）やっとなんとか「ゼロ」に近いものを思いつき、扱ってみようと試みる人が現れた後も、そのアイディアを口にしたり文章に書いたりすると、「そんな妙なアイディアは認めるべきでない」や「危険なアイディアだ」などと否定する人のほうがはるかに多く、結局、古代ギリシア文明のように「ゼロ」概念を（文明全体として）否定（や禁止）してしまったものもあったなど、古代のさまざまな文明で「ゼロ」という概念を巡り人々は迷い、争い、葛藤した[2]。

長い時代を経て、自然数にゼロ（零）、およびひとつひとつの自然数と一対になっている「負の数」という概念（今で言う「負の整数」という概念）を加えることで、「整数」(英: integer)というまとまりが考えだされた。なお、この段階では「自然数」「ゼロ」および「負の数」で、「全ての数」と考えられていた（信じられていた）ので「integer」と呼ばれていたのである（もともとintegerとは「全体」や「欠けの無い」という意味を持つ）。

さらに整数の商を考えて有理数と拡張され、四則演算が自由に行える体系を得る。有理数から実数への拡張はこのような演算とは異なるギャップを埋めることで得られ、代数方程式の解法を通じて虚数を含む複素数へと拡張された。複素数を構成するさまざまな数どうしの関係を表す図。

自然数 → 整数 → 有理数 → 実数 → 複素数

複素数 - 虚数、実数

複素数 - 代数的数、超越数

実数 - 無理数、有理数

有理数

整数 - 自然数、負の整数

自然数 = 正の整数

フランスの数学者、アンリ・ポアンカレは「数」の定義は難しく、0、1などを厳密に定義するのは難しいと説明している[3]。

数の分類（十進法の場合）

複素数 : C {\displaystyle :\;\mathbb {C} }

実数 : R {\displaystyle :\;\mathbb {R} }

有理数 : Q {\displaystyle :\;\mathbb {Q} }
(代数的数)

整数 : Z {\displaystyle :\;\mathbb {Z} } 0

00 0 00(自然数に0を含めない場合) - 偶数

自然数 : N {\displaystyle :\;\mathbb {N} } 00

奇数偶数
0-0(自然数に0を含む場合)
11-
素数2以外の素数2
合成数奇数 × 奇数奇数 × 偶数
偶数 × 奇数
偶数 × 偶数素数の積として
表すことができる
2で
割り切れない
整数2の倍数



負の整数 00自然数に -1 を乗じた 整数 (-1,-2,…、0は含まない）
（自然数と同様に、奇数・偶数に分類する場合あり)

分数 : {\displaystyle :} .mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .frac .num,.mw-parser-output .frac .den{font-size:80%;line-height:0;vertical-align:super}.mw-parser-output .frac .den{vertical-align:sub}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}m⁄n
( m,n は整数 , n≠0)

有限小数 00十進法においては
n=2i×5j (i,j≧0、i,jは整数) の場合の既約分数 m⁄n


循環小数 00小数点以下の或(あ)る桁から先で
同じ数字の列を無限に繰り返す小数(無限小数)
000(例) 0 '"`UNIQ--templatestyles-00000012-QINU`"'1/70=0 0.142 857 142 857 142 857…
=0 0.·142 85·70=0 0.{142 857} 0=0 0.142 857

無理数
0(非循環小数)
(無限小数)

超越数
0 (例 : 円周率 π、自然対数の底 e、ゲルフォントの定数 e π   {\displaystyle e^{\pi }\ } 、
000チャンパーノウン定数 C10 = 0.123 456 789 101 112 131 415 161 718 192 021…、ほか)

代数的無理数 (代数的数)
0 (例 : 2の平方根 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 、2の立方根 2 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}} 、有理数qの整数(n)べき根(累乗根) q n {\displaystyle {\sqrt[{n}]{q}}} 、ほか)





虚数 0z = a + b i
（a, b は実数、b ≠ 0、i は虚数単位 i = √−1 ）

超越数 00(代数的数でないもの)

代数的数 0( 例 : ± i )








様々な拡張法

これらを更に別の観点から拡張した体系が存在する。例えば、ものの個数の概念である自然数を拡張して基数が、ものの順番を表す意味での自然数の拡張として順序数が定義される。複素数を更に拡張したものとして、四元数・八元数・十六元数などの体系がある。あるいは、実数に加えて無限小や無限大を含む超実数などの体系もある。

自然数 → 基数

基数 - 有限基数（= 自然数）、無限基数


自然数 → 順序数

順序数 - 有限順序数（= 自然数）、超限順序数


実数 → 複素数 → 四元数 → 八元数 → 十六元数

有理数 → p-進数 （+ 実数 → アデール）

実数 → 超実数

記数法

数を如何にして数字に表すかという方法は記数法と呼ばれる。同じ数が、さまざまな記数法ごとに異なる表示をもつことは珍しいことではない。以下の記事も参照のこと。

分数表記

小数表記

指数表記

N進表記

例えば十進法（表記）の「255」は、十六進法では「FF」と記述され、二進法では「1111 1111」と記述される。「255」と「FF」と「1111 1111」では、見た目（感覚的印象）はかなり異なるが、あくまで同じ数の概念を表している。

なお人類は、古代ではさかんに、十二進法や六十進法を用いてきた歴史がある。