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多様体上の接ベクトル空間（せつベクトルくうかん、英語: tangent vector space）あるいは 接空間（英語: tangent space）とは、多様体上の各点で定義されるベクトル空間であり、その点における全ての接ベクトルの集合である。接ベクトル空間は、ユークリッド空間内の曲線や曲面における接ベクトルの一般化ともいえる。 接ベクトル空間は、多様体上の点ごとに定義されるベクトル空間である。接ベクトル空間の元を接ベクトルという。全ての点で接ベクトルが定まっているとベクトル場というものが定義できる。ベクトル場は多様体の形を調べたり、多様体上の粒子の運動を調べたりするのに非常に役立つ概念である。物理学でいえば電磁場や重力場などを記述でき、そのベクトル場の中に置かれた粒子はその点での接ベクトルの向いている方向に沿って移動していく。本項目で扱うのは、そのベクトル場の基礎となるある 1 点の上の接ベクトル空間である。 1 ≤ r ≤ ∞ とする。 m 次元 Cr 級多様体 M と、その中の Cr 級曲線 ϕ : ( − ε , ε ) → M {\displaystyle \phi \colon (-\varepsilon ,\varepsilon )\to M} を考え ?(0) = p ∈ M とする。 p を含む座標近傍 (U; x1, …, xm) において ?(t) = (x1(t), …, xm(t)) を t で微分して、t = 0 を代入することにより曲線 ? の点 p での速度ベクトル d ϕ d t ( 0 ) := ( d x 1 d t ( 0 ) , d x 2 d t ( 0 ) , … , d x m d t ( 0 ) ) {\displaystyle {\frac {d\phi }{dt}}(0):=\left({\frac {dx_{1}}{dt}}(0),{\frac {dx_{2}}{dt}}(0),\dotsc ,{\frac {dx_{m}}{dt}}(0)\right)} が求まる。 この速度ベクトルの成分は、座標近傍の局所座標系の表し方に依存する表示になっている。多様体の性質を調べる際には、局所座標系の取り方に依存しない性質を扱いたいという要請があるので、この速度ベクトルは多様体の性質を調べるのには不向きである。そこで M 上で定義された Cr 級関数 f : M → R {\displaystyle f\colon M\to \mathbf {R} } を利用することを考える。 f は 座標近傍 (U; x1, …, xm) においては、 m 変数の関数 f (x1, …, xm) として書かれている。この f を曲線 ? 上で調べる。 f(?(t)) は局所座標系に寄らない関数 ( f ∘ ϕ ) : ( − ε , ε ) → R {\displaystyle (f\circ \phi )\colon (-\varepsilon ,\varepsilon )\to \mathbf {R} } であり、これを t で微分した d d t ( f ∘ ϕ ) ( t ) {\displaystyle {\frac {d}{dt}}(f\circ \phi )(t)} もまた局所座標系に依存しない。 ところで f(x1(t), …, xm(t)) という表示にして t で微分してみれば、多変数関数の合成関数の微分 として連鎖律の公式から d d t ( f ∘ ϕ ) ( 0 ) = ∂ f ∂ x 1 d x 1 d t ( 0 ) + ∂ f ∂ x 2 d x 2 d t ( 0 ) + ⋯ + ∂ f ∂ x n d x n d t ( 0 ) {\displaystyle {\frac {d}{dt}}(f\circ \phi )(0)={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}{\frac {dx_{1}}{dt}}(0)+{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}{\frac {dx_{2}}{dt}}(0)+\dotsb +{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}{\frac {dx_{n}}{dt}}(0)}
概要