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出典検索?: "拡大実数" ? ニュース ・ 書籍 ・ スカラー ・ CiNii ・ J-STAGE ・ NDL ・ dlib.jp ・ ジャパンサーチ ・ TWL（2012年1月）

数学における拡大実数（かくだいじっすう、英: extended real number）あるいはより精確にアフィン拡大実数（affinely extended real number）は、通常の実数に正の無限大 +∞ と負の無限大 ?∞ の2つを加えた体系を言う。

新しく付け加えられた元（無限大、無限遠点）は（通常の）実数ではないが、文脈によってはこれらを含めた全ての拡張実数を指して便宜的に「実数」と呼ぶこともあり、その場合、通常の実数は有限実数と呼んで区別する[1]。

拡張実数の概念は、微分積分学や解析学（特に測度論と積分法）において種々の函数の極限についての記述を簡素化するのに有効である。（アフィン）拡張実数全体の成す集合 R ∪ {±∞} は、その上の適当な順序構造や位相構造などを持つものとして補完数直線（ほかんすうちょくせん、英: extended real line）と呼ばれ、R や [?∞, +∞] と書かれる。

文脈から明らかな場合には、正の無限大の記号 +∞ はしばしば単に ∞ と書かれる。
意義
極限

函数 f において、引数 x や函数値 f(x) がある意味で「非常に大きく」なるときのふるまいを記述したい場面というのはよくある。例えば函数 f ( x ) = x − 2 {\displaystyle f(x)=x^{-2}}

を考えると、グラフは g(x) = 0 を水平漸近線に持つ。幾何学的に、x-軸を右へどんどん辿って行けば、1/x2 の値は 0 へ近づく。この極限的な振る舞いというのは、x が何らかの実数へ近づくときの函数の極限と、x が近づく実数がないことを除けば同じである。

仮に、実数の集合 R に二つの元 +∞ と ?∞ を添加するとすれば、「無限遠における極限」を R におけると同様の位相的性質を以って定式化することができる。

事を完全に厳密にするには、R の有理コーシー列による定義において、さらに任意の K > 0 に対して十分大きな番号の項で K を超えるものが取れるような有理コーシー列全体の成す集合として +∞ を、同様の仕方で ?∞ を、それぞれ定義することにすればよい。
測度論および積分

測度論において、測度無限大の集合や値が無限大になる積分の存在を許すことが有効であることがよくある。

このような測度は微分積分学でも自然に表れてくる。例えば、R における測度として、各区間の測度が区間の通常の長さと一致するようなものを考えると、全空間 R の測度というのはどんな有限実数よりも大きいものでなければならない。あるいはまた、 ∫ 1 ∞ d x x {\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x}}}

のような無限積分を考えるとき、値は「無限大」になる。他にも、 f n ( x ) = { 2 n ( 1 − n x ) , if  0 ≤ x ≤ 1 n 0 , if  1 n < x ≤ 1 {\displaystyle f_{n}(x)={\begin{cases}2n(1-nx),&{\mbox{if }}0\leq x\leq {\frac {1}{n}}\\0,&{\mbox{if }}{\frac {1}{n}}<x\leq 1\end{cases}}}

のような函数列の極限を考えることも有用であることは多く、函数値が無限大となることを許容しない場合には単調収束定理や優収束定理のような本質的な結果が意味を成さない。
順序構造および位相的性質

任意の（有限）実数 a に対して ?∞ ? a ? +∞ と置くことにより、実数直線 R における順序の拡張として、補完数直線 R は全順序集合になる。この順序に関して R は「任意の部分集合が上限と下限を持つ」（完備束を成す）という良い性質を持つ。

この順序から導かれる R 上の順序位相（英語版）では、集合 U が正の無限大 +∞ の近傍となる必要十分条件は U が適当な実数 a に対する集合 {x : x > a} を含むことであり、負の無限大 ?∞ についても同様のことが言える。補完数直線 R は、単位閉区間 [0, 1] に同相なコンパクトハウスドルフ空間であるから、単位閉区間の通常の距離から同相を通じて距離化可能であるが、しかし R 上の通常の距離の延長となるような距離を入れることはできない。

この位相に関して、実変数 x が +∞ や ?∞ へ近づく極限や、函数の値が +∞ や ?∞ へ近づく極限を、一般的な極限の位相的定義を簡略化して定義することができる。
算術演算

実数全体 R における四則演算は、以下の規約により部分的に R まで拡張することができる。 a + ∞ = ( + ∞ ) + a = + ∞ ( a ≠ − ∞ ) a − ∞ = ( − ∞ ) + a = − ∞ ( a ≠ + ∞ ) a ⋅ ( ± ∞ ) = ( ± ∞ ) ⋅ a = ± ∞ ( a ∈ ( 0 , + ∞ ] ) a ⋅ ( ± ∞ ) = ( ± ∞ ) ⋅ a = ∓ ∞ ( a ∈ [ − ∞ , 0 ) ) a ± ∞ = 0 ( a ∈ R ) ± ∞ a = ± ∞ ( a ∈ R + ) ± ∞ a = ∓ ∞ ( a ∈ R − ) {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}a+\infty =(+\infty )+a&{}=+\infty &&\quad (a\neq -\infty )\\a-\infty =(-\infty )+a&{}=-\infty &&\quad (a\neq +\infty )\\a\cdot (\pm \infty )=(\pm \infty )\cdot a&{}=\pm \infty &&\quad (a\in (0,+\infty ])\\a\cdot (\pm \infty )=(\pm \infty )\cdot a&{}=\mp \infty &&\quad (a\in [-\infty ,0))\\{\frac {a}{\pm \infty }}&{}=0&&\quad (a\in \mathbb {R} )\\{\frac {\pm \infty }{a}}&{}=\pm \infty &&\quad (a\in \mathbb {R} ^{+})\\{\frac {\pm \infty }{a}}&{}=\mp \infty &&\quad (a\in \mathbb {R} ^{-})\end{alignedat}}}