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出典検索?: "折り返し雑音"
折り返し雑音（おりかえしざつおん、（英: folding noise）またはエイリアシング（英: aliasing）とは、統計学や信号処理やコンピュータグラフィックスなどの分野において、異なる連続信号が標本化によって区別できなくなることをいう。エイリアスは、この文脈では「偽信号」と訳される。信号が標本化され再生されたとき、元の信号とエイリアスとが重なって生じる歪みのことを折り返しひずみ[注 1]という。折り返しひずみのことをエイリアシングまたは折り返し雑音ということもある。
デジタル写真を見たとき、ディスプレイやプリンタ機器、あるいは我々の眼や脳で再生（補間）が行われている。再生された画像が本来の画像と違っている場合、そこには折り返しひずみが生じている。空間折り返しひずみ[注 2]の例として、レンガの壁をピクセル数の少ない画像にしたときに生じるモアレがある。このようなピクセル化に際しての問題を防ぐ技法をアンチエイリアスと呼ぶ。
ストロボ効果（時間折り返し雑音）は、ビデオや音響信号の標本化での重大な問題である。例えば、音楽には高周波成分が含まれていることがあるが、人間の耳には聞こえない。それを低すぎるサンプリング周波数で標本化し、デジタル-アナログ変換回路を通して音楽を再生した場合、高周波がアンダーサンプリングされて低周波の折り返し雑音になったものが聞こえることがある。従って、標本化の前にフィルタ回路を使って高周波成分を取り除くのが一般的である。
（必要に応じて）低周波成分を排除したときにも似たような状況が発生し、高周波成分が意図的にアンダーサンプリングされて低周波として再生される。デジタルチャネライザ[1]には、計算を効率化するためにこのような折り返し雑音を利用するものもある。低周波成分を全く含まない信号は、バンドパスあるいは非ベースバンドと呼ばれる。
ビデオや映画撮影では、フレームレートが有限であるためにストロボ効果が生じ、例えば車輪のスポークがゆっくり回転しているように見えたり、逆回転しているように見える。すなわち、折り返し雑音が回転の周波数を変えているのである。逆回転は負の周波数で説明できる。
ビデオカメラも含めて、標本化は一般に周期的に行われ、サンプリング周波数と呼ばれる性質が（時間的または空間的に）存在する。デジタルカメラでは、画面の単位長当たりの標本（ピクセル）数が存在する。音響信号はアナログ-デジタル変換回路でデジタイズされ、毎秒一定数の標本を生成する。特に標本化対象となっている信号自体に周期性があるとき、折り返し雑音の影響が強く生じることが多い。 正弦曲線は重要な周期関数の一種であり、信号は異なる周波数と振幅の正弦曲線、余弦曲線の総和で表すことができる。このように、信号を正弦曲線、余弦曲線の無限和で表すことをフーリエ級数と言い、信号から有限個の標本点を取り、その標本点において元の信号と一致するように正弦曲線、余弦曲線の有限和で表すことを離散フーリエ変換（逆離散フーリエ変換）という。正弦曲線での折り返し雑音を理解することで、その総和での折り返し雑音が理解しやすくなる。2つの正弦曲線が標本化によって全く同じ標本列を生成する 右図では標本化の間隔が 1.0 で、異なる2つの正弦曲線が同じ標本を生成する様子を描いている。この場合のサンプリング周波数を f s {\displaystyle f_{s}\,} = 1.0 であるとする。例えば、その間隔が 1 秒なら、毎秒 1 回の標本を採ることになる。灰色の正弦曲線の 19 サイクルが、赤の正弦曲線の 1 サイクルに相当し、その間のインターバルは 20 である。それぞれの正弦曲線の周波数は f g r e y {\displaystyle f_{\mathrm {grey} }\,} = 0.95 と f r e d {\displaystyle f_{\mathrm {red} }\,} = 0.05 となる。 一般に周波数 f {\displaystyle f\,} の正弦曲線を周波数 f s {\displaystyle f_{s}\,} で標本化したとき、標本点は t n = n / f s {\displaystyle t_{n}=n/f_{s}} であるが、周波数 f {\displaystyle f\,} の正弦曲線が周波数 g {\displaystyle g\,} の正弦曲線と標本点で一致する（区別できない）のであれば、次のようになる。 sin ( 2 π f t n ) = sin ( 2 π g t n ) {\displaystyle \sin(2\pi ft_{n})=\sin(2\pi gt_{n})} sin ( 2 π f n / f s ) = sin ( 2 π g n / f s ) {\displaystyle \sin(2\pi fn/f_{s})=\sin(2\pi gn/f_{s})} 2 π n f / f s = 2 π n g / f s + 2 π A n {\displaystyle 2\pi nf/f_{s}=2\pi ng/f_{s}+2\pi A_{n}} ただし、 A n {\displaystyle A_{n}} は整数の数列 A n = n ( f − g ) / f s {\displaystyle A_{n}=n(f-g)/f_{s}} これが任意の整数 n {\displaystyle n} について成り立つためには、 n = 1 {\displaystyle n=1} の場合を考えると A 1 = ( f − g ) / f s {\displaystyle A_{1}=(f-g)/f_{s}} が整数であることが必要であり、代入すれば A n = n A 1 {\displaystyle A_{n}=nA_{1}} であれば任意の整数 n {\displaystyle n} について成立する。このため、 N = A 1 {\displaystyle N=A_{1}} と置けば、次の場合、標本点上では周波数 f {\displaystyle f\,} と g {\displaystyle g\,} の正弦曲線は一致する。 g = f − N f s {\displaystyle g=f-Nf_{s}} ただし N {\displaystyle N} は任意の整数 g < 0 {\displaystyle g<0} となる場合、「マイナスの周波数と標本点上で一致した」と考えることもできるが、 sin ( 2 π f t n ) = sin ( 2 π g t n ) = − sin ( 2 π 。 g 。 t n ) {\displaystyle \sin(2\pi ft_{n})=\sin(2\pi gt_{n})=-\sin(2\pi |g|t_{n})} であるので、「周波数 。 g 。 {\displaystyle |g|} と振幅逆向きで標本点上で一致した」と考える事もできる。振幅逆向きでの一致も含める場合、上記の条件は次のようになる。 g = 。 f − N f s 。 {\displaystyle g=|f-Nf_{s}|} ただし N {\displaystyle N} は任意の整数 標本点では周波数が f i m a g e ( N ) = 。 f − N f s 。
標本化正弦曲線関数
