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出典検索?: "微分形式" ? ニュース ・ 書籍 ・ スカラー ・ CiNii ・ J-STAGE ・ NDL ・ dlib.jp ・ ジャパンサーチ ・ TWL（2015年9月）

数学における微分形式（びぶんけいしき、英: differential form）とは、微分可能多様体上に定義される共変テンソル場である。微分形式によって多様体上の局所的な座標の取り方によらない関数の微分が表現され、また多様体の内在的な構造のみによる積分は微分形式に対して定義される。微分多様体上の微分形式は共変テンソルとしての座標変換性によって、あるいは接ベクトル空間上の線型形式の連続的な分布として定式化される。また、代数幾何学・数論幾何学や非可換幾何学などさまざまな幾何学の分野でそれぞれ、この類推として得られる微分形式の概念が定式化されている。
概要

エリ・カルタンによって微分方程式を幾何学的に捕らえようとする試みから生まれた微分形式は、解析学や幾何学のいろいろな概念や公式を統一的な視点からまとめ、形式的な計算により多くの結果を得、多様体などの図形を調べるのにも非常に強力な道具になっていった。

n 次元ユークリッド空間において、座標が (x1, x2, …, xn) で与えられているとき、n 変数関数 f(x1, x2, …, xn) を微分 0 形式といい、 余接ベクトル場 f1 dx1 + f2 dx2 + ? + fn dxn の事を 微分 1 形式という。係数となっているfk は変数を省略してあるが関数である。これは関数の全微分で現れる式と同じである。2 次以上の微分形式は微分形式同士をテンソル積でかけ合わせることにより得られる。例えば p 次の微分形式 ξ と q 次の微分形式 η のテンソル積は

ξ ⊗ η {\displaystyle \xi \otimes \eta }

と書かれる。しかし、通常はこのような一般的すぎる積の代わりに何らかの対称性を課した対称微分形式や交代微分形式がもちいられる。いずれも、座標のとりかたによらない幾何学的な量を表すものであるが、区別するためにも、このテンソル積の記号はあまり用いられない。対称微分形式は、リーマン計量などを表現するときによく使われ、

∑ a i j d x i d x j {\displaystyle \sum a_{ij}\,\mathrm {d} x_{i}\,\mathrm {d} x_{j}}

のような形でテンソル積の記号は省略して書かれる。 dx2 といった形で指数にして表してしまうこともある。

リーマン計量は多様体上の各点での接ベクトルの大きさを定めるものであり、局所的に線素の「長さ」を定めていることになる。ガウスが曲面論で示したように、このような局所的な情報から、多様体全体の形や大きさをかなりの程度知ることができる。

交代微分形式の方は、テンソル積の代わりに外積代数の積としての記号 ∧ を用い

∑ a i j d x i ∧ d x j {\displaystyle \sum a_{ij}\,\mathrm {d} x_{i}\wedge \mathrm {d} x_{j}}

の形に書かれる。交代微分形式は、向きの与えられた幾何学的な量を表している。

d x i ∧ d x j = − d x j ∧ d x i {\displaystyle \mathrm {d} x_{i}\wedge \mathrm {d} x_{j}=-\mathrm {d} x_{j}\wedge \mathrm {d} x_{i}}

という関係式を満たし {dxk} の並ぶ順序の入れ替えに応じて符号が変わる（対称微分形式では符号は変わらない）。こういった符号の反転を内包させることによって積分する変数の「向き」を捉えられることになる。したがって微分形式の積分として得られる面積や体積などの量にも符号が導入され、負の面積や負の体積といったものも現れるが、そうすることによって重積分における座標変換の公式などが、非常に簡明に計算できるようになる。

さらに交代微分形式の微分からド・ラーム・コホモロジーが得られ、解析的な計算によって多様体全体の形を調べることができる。

特に何の指定も無い場合、（高次元の）微分形式というと、交代微分形式の方を指すことが多い。この項目でも交代微分形式を中心に扱う。
定義
微分形式

n 次元微分可能多様体 M を考える。分かりにくい時は特別な場合として M を n 次元ユークリッド空間 Rn で考えるとよい。領域 D 上で定義された Cr 級関数（r 回連続微分可能関数）の事を、 Cr 級 0 次微分形式、あるいは、Cr 級微分 0 形式などという。:特に混乱の問題がない場合には Cr 級などは省略される。どこにも言及されていない場合、微分形式に対しては C∞ 級など、様々な操作が自由に行えるだけの連続微分可能性を持つとみなすことが多い。いずれにせよ最も扱いやすい C∞ 級の関数はより荒い関数たちを近似するのに十分なだけ豊富に存在する。

M のそれぞれの点 p に対して p における余接ベクトル ξp ∈ T*p(M) を、 p に関して連続的に与える対応のことを1 次微分形式、あるいは、微分 1 形式などという。したがって微分形式は余接束の切断、つまり余接ベクトル場だということになる。M の点 p0 のまわりの座標系が具体的に {x1, x2, …, xn} で与えられているとき、 p0 のまわりでの1 次微分形式は

f 1 ( p ) d x 1 p + f 2 ( p ) d x 2 p + ⋯ + f n ( p ) d x n p {\displaystyle f_{1}(p)\,{\mathrm {d} x_{1}}^{p}+f_{2}(p)\,{\mathrm {d} x_{2}}^{p}+\dotsb +f_{n}(p)\,{\mathrm {d} x_{n}}^{p}}