数学において、形式的冪級数（けいしきてきべききゅうすう、英: formal power series）とは、（形式的）多項式の一般化であり、多項式が有限個の項しか持たないのに対し、形式的冪級数は項が有限個でなくてもよい。例えば、（X を不定元として） ∑ n = 0 ∞ X n = 1 + X + X 2 + X 3 + ⋯ + X n + ⋯ {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }X^{n}=1+X+X^{2}+X^{3}+\dotsb +X^{n}+\dotsb }

は（多項式ではない）冪級数である。目次

1 定義

1.1 より形式的な定義

1.2 合成


2 性質

3 形式微分

4 一般化

4.1 形式的ローラン級数

4.2 多変数の形式的冪級数

4.2.1 性質



5 参考文献

定義

A を可換とは限らない環とする。A に係数をもち X を変数（不定元）とする（一変数）形式的冪級数 (formal power series) とは、各 ai (i = 0, 1, 2, …) を A の元として、 ∑ n = 0 ∞ a n X n = a 0 + a 1 X + a 2 X 2 + ⋯ {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\dotsb }

の形をしたものである。ある m が存在して n ≥ m のとき an = 0 となるようなものは多項式と見なすことができる。

形式的冪級数全体からなる集合 A[[X]] に和と積を定義して環の構造を与えることができ、これを形式的冪級数環という。和と積の定義は以下のようにする。 ∑ n = 0 ∞ a n X n + ∑ n = 0 ∞ b n X n := ∑ n = 0 ∞ ( a n + b n ) X n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}+\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}X^{n}:=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}+b_{n})X^{n}} ( ∑ n = 0 ∞ a n X n ) ⋅ ( ∑ n = 0 ∞ b n X n ) := ∑ n = 0 ∞ ( ∑ k = 0 n a k b n − k ) X n {\displaystyle \left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}\right)\cdot \left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}X^{n}\right):=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}\right)X^{n}}

すなわち和と積は形式的に定義し、環の元と不定元は可換であるとする。
より形式的な定義

? を非負整数全体の集合とし、配置集合 A? すなわち ? から A への関数（A に値を持つ数列）全体を考える。この集合に対し ( a n ) n ∈ N + ( b n ) n ∈ N := ( a n + b n ) n ∈ N {\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }+(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }:=(a_{n}+b_{n})_{n\in \mathbb {N} }} ( a n ) n ∈ N ⋅ ( b n ) n ∈ N := ( ∑ k = 0 n a k b n − k ) n ∈ N {\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\cdot (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }:=\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}\right)_{n\in \mathbb {N} }}

によって演算を定めると、A? は環になることが確かめられる。これが形式的冪級数環 A[[X]] である。

ここでの (an) は上の ∑
anXn と対応する。
合成

定数項が 0 の形式的冪級数は、別の冪級数に代入することができる。すなわち、 f ( X ) := ∑ n = 0 ∞ a n X n , g ( X ) := ∑ m = 1 ∞ b m X m {\textstyle f(X):=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n},\;g(X):=\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}X^{m}} とすると、(g(X))n は n − 1 次以下の項をもたないので、合成 f ( g ( X ) ) = ∑ n = 0 ∞ a n { g ( X ) } n {\displaystyle f(g(X))=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\{g(X)\}^{n}}