弦_(数学) - 暇つぶしWikipedia

弦_(数学)

赤い線分 BX はこの円の弦である。（線分 AB は円の直径）

初等幾何学における円の弦（げん、英: chord [注釈 1]）は、その円周上に両端点を持つ線分を言う。弦を無限に延長して得られる直線を、割線と呼ぶ。より一般に、任意の曲線（例えば楕円）において、その曲線上の二点を結ぶ線分を、その曲線上の弦と総称する。円の中心を通る弦はその円の直径である。任意の直径は弦であるが、任意の弦が直径となるわけではない。直径 (diameter); 半径 (radius); 弦 (chord); 割線 (secant); 接線 (tangent)
円の弦「:en:Circle#Chord」も参照

円の弦に関する性質には、例えば以下のようなものがある:
二つの弦が、円の中心から等距離にあるための必要十分条件は、それら弦の長さが等しいことである。

長さの等しい弦を、円の中心から見込む角（中心角）は等しい。

円の中心を通る弦は直径と呼ばれ、その円の最長の弦である。

弦 AB および CD を延長して得られる割線が点 P で交わるならば、それらの長さは AP・PB = CP・PD を満足する（方冪の定理）。

楕円の弦

楕円における互いに平行な弦の族が与えられたとき、それら弦の中点はすべて同一直線上にある [1]。
弦をもとにした三角法

三角法の初期の段階では弦が手広く用いられていた。知られた最古の三角函数表はヒッパルコスの編纂した弦の数表（英語版）で、それには7.5°刻みで弦函数の値が書き並べられていた。AD 2世紀に、アレクサンドリアのプトレマイオスは、天文学に関する著書『アルマゲスト』において、より詳細な弦の数表を編纂している（0.5°から180°まで0.5°刻みで値が与えられ、これは円の直径を120として小数点以下60進ふた桁まで正確であった）[2]。中心角 θ に対する弦; 弦の半分が正弦

弦函数 crd は幾何学的には（図のように）中心角 θ の見込む弦の長さが r⋅crd(θ)（r は半径）となるように定義される。すなわち、弦函数の値 crd(θ) は、中心角 θ によって隔てられた単位円上の二点間を結ぶ弦の長さである。ここでは角度 θ は正の向きに測るものとし、弧度法で区間 0 < θ ? π の範囲に入るものと考えている。この元函数 crd をより現代的な正弦函数 sin と関連付けることができる。それには、一点 (1, 0) ともう一つの点 (cos(θ), sin(θ)) を結ぶ弦の長さを三平方の定理を用いて計算すればよい。すると crd ⁡ θ = ( 1 − cos ⁡ θ ) 2 + sin 2 ⁡ θ = 2 − 2 cos ⁡ θ = 2 sin ( θ 2 ) {\displaystyle \operatorname {crd} \theta ={\sqrt {(1-\cos \theta )^{2}+\sin ^{2}\theta }}={\sqrt {2-2\cos \theta }}=2\sin \!{\Bigl (}{\frac {\theta }{2}}{\Bigr )}} を得る [2]。最後の等号は半角公式による。

現代的な三角法が正弦函数に基づいて構築されているのと同様に、古来の三角法はこの弦函数をもとに構築されていた。ヒッパルコスは（いまではもうすべて失われたけれども）12巻にも及ぶ弦についての文献を書き上げたというから、三角法についてはかなりのことが知られていたと考えられる。現代的な三角函数に関するよく知られた恒等式の弦函数版がある:

恒等式正弦版弦版
三平方の定理 sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1 {\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1} crd 2 ⁡ θ + crd 2 ⁡ ( π − θ ) = 4 {\displaystyle \operatorname {crd} ^{2}\theta +\operatorname {crd} ^{2}(\pi -\theta )=4}
半角公式 sin ⁡ θ 2 = ± 1 − cos ⁡ θ 2 {\displaystyle \sin {\frac {\theta }{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}} crd ⁡ θ 2 = ± 2 − crd ⁡ ( π − θ ) {\displaystyle \operatorname {crd} \ {\frac {\theta }{2}}=\pm {\sqrt {2-\operatorname {crd} (\pi -\theta )}}}
辺心距離 a c = 2 r 2 − a 2 {\displaystyle c=2{\sqrt {r^{2}-a^{2}}}} c = D 2 − 4 a 2 {\displaystyle c={\sqrt {D^{2}-4a^{2}}}}
中心角 θ c = 2 r sin ( θ 2 ) {\displaystyle c=2r\sin \!{\Big (}{\frac {\theta }{2}}{\Bigr )}} c = D 2 crd ⁡ θ {\displaystyle c={\frac {D}{2}}\operatorname {crd} \theta }
ただし、半径 r（直径 D）の円の中心角 θ が見込む弦の長さを c とする。

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