この項目では、数学関数について説明しています。プログラミング言語の関数については「端数処理」をご覧ください。
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床関数天井関数

床関数（ゆかかんすう、英: floor function）と天井関数（てんじょうかんすう、英: ceiling function）は、実数に対してそれぞれ、自身以下の最大、自身以上の最小の整数を出力する関数である。

"floor" や "ceiling" といった名称、" ⌊ ⌋ {\displaystyle \lfloor \quad \rfloor } ", " ⌈ ⌉ {\displaystyle \lceil \quad \rceil } " などの記法は、1962年にケネス・アイバーソンによって導入された[1]。

床関数と天井関数の間には ⌈ x ⌉ = − ⌊ − x ⌋ {\displaystyle \lceil x\rceil =-\lfloor -x\rfloor }

の関係があるため、どちらで表しても本質的には同様となる。
床関数

床関数は、実数 x に対して x 以下の最大の整数と定義され、

⌊ x ⌋ {\displaystyle \lfloor x\rfloor }

floor ⁡ ( x ) {\displaystyle \operatorname {floor} (x)}

[ x ] {\displaystyle [x]}

などと書かれる。3つめの記号はガウス記号と呼ばれる。カール・フリードリヒ・ガウスが7つの証明を示した平方剰余の相互法則の3番目の証明に用いた（1808年）ことに由来する[2][3]。日本、中国、ドイツなどでよく使われている。日本の高校数学や大学入試ではガウス記号が使われることがほとんどである。

床関数の定義を数式で表すと次のようになる： ⌊ x ⌋ := max { n ∈ Z ∣ n ≤ x } . {\displaystyle \lfloor x\rfloor :=\max\{n\in \mathbb {Z} \mid n\leq x\}.}

実数 x に対し、 ⌊ x ⌋ {\displaystyle \lfloor x\rfloor } を整数部分、 x − ⌊ x ⌋ {\displaystyle x-\lfloor x\rfloor } を小数部分と呼ぶ。小数部分は x mod 1 や {x} とも書かれる。例えば、入力値が0以上や整数なら以下のようになる：

n を任意の整数とすると、

⌊ n ⌋ = n , { n } = 0 {\displaystyle \lfloor n\rfloor =n,\;\{n\}=0}

⌊ 1.7 ⌋ = 1 , { 1.7 } = 0.7 {\displaystyle \lfloor 1.7\rfloor =1,\;\{1.7\}=0.7}

⌊ 4 3 ⌋ = 1 , { 4 3 } = 1 3 {\displaystyle \left\lfloor {\frac {4}{3}}\right\rfloor =1,\;\left\{{\frac {4}{3}}\right\}={\frac {1}{3}}}

⌊ 3 ⌋ = ⌊ 1.732 ⋯ ⌋ = 1 , { 3 } = 3 − 1 = 0.732 ⋯ {\displaystyle \lfloor {\sqrt {3}}\rfloor =\lfloor 1.732\cdots \rfloor =1,\;\{{\sqrt {3}}\}={\sqrt {3}}-1=0.732\cdots }

⌊ π ⌋ = ⌊ 3.14 ⋯ ⌋ = 3 , { π } = π − 3 = 0.14 ⋯ {\displaystyle \lfloor \pi \rfloor =\lfloor 3.14\cdots \rfloor =3,\;\{\pi \}=\pi -3=0.14\cdots }

⌊ e ⌋ = ⌊ 2.71 ⋯ ⌋ = 2 , { e } = e − 2 = 0.71 ⋯ {\displaystyle \lfloor e\rfloor =\lfloor 2.71\cdots \rfloor =2,\;\{e\}=e-2=0.71\cdots }

（π は円周率、e はネイピア数）

しかし入力値が負非整数の場合は、整数部分・小数部分は小数表示のそれぞれ小数点以上・以下の部分とならないことに注意する必要がある：

⌊ − 1.7 ⌋ = − 2 , { − 1.7 } = 0.3 {\displaystyle \lfloor -1.7\rfloor =-2,\;\{-1.7\}=0.3} （ ⌊ − 1.7 ⌋ {\displaystyle \lfloor -1.7\rfloor } は−1, { − 1.7 } {\displaystyle \{-1.7\}} は0.7ではない）

⌊ − 4 3 ⌋ = − 2 , { − 4 3 } = 2 3 {\displaystyle \left\lfloor -{\frac {4}{3}}\right\rfloor =-2,\;\left\{-{\frac {4}{3}}\right\}={\frac {2}{3}}}

⌊ − 3 ⌋ = ⌊ − 1.732 ⋯ ⌋ = − 2 , { − 3 } = 2 − 3 = 0.267 ⋯ {\displaystyle \lfloor -{\sqrt {3}}\rfloor =\lfloor -1.732\cdots \rfloor =-2,\;\{-{\sqrt {3}}\}=2-{\sqrt {3}}=0.267\cdots }

⌊ − π ⌋ = ⌊ − 3.14 ⋯ ⌋ = − 4 , { − π } = 4 − π = 0.85 ⋯ {\displaystyle \lfloor -\pi \rfloor =\lfloor -3.14\cdots \rfloor =-4,\;\{-\pi \}=4-\pi =0.85\cdots }

?1.2 の整数部分を ?2 と定義する流儀（「0への丸め」）もあるが一般的ではない。ただしプログラミング言語によっては「0への丸め」を採用しているものがある。小数部分は0 以上 1 未満となる。

有理数の帯分数表示は、この整数部分と小数部分（真分数）の和分解への表示である。
天井関数

床関数と密接に関係しているのが天井関数である。天井関数は実数 x に対して x 以上の最小の整数と定義され、

⌈ x ⌉ {\displaystyle \lceil x\rceil }

ceil ⁡ ( x ) {\displaystyle \operatorname {ceil} (x)}

ceiling ⁡ ( x ) {\displaystyle \operatorname {ceiling} (x)}

などと書かれる。これを数式で表すと次のようになる： ⌈ x ⌉ := min { n ∈ Z ∣ x ≤ n } . {\displaystyle \lceil x\rceil :=\min\{n\in \mathbb {Z} \mid x\leq n\}.}

例えば、以下のようになる。

n を任意の整数とすると、

⌈ n ⌉ = n {\displaystyle \lceil n\rceil =n}

⌈ 1.7 ⌉ = 2 {\displaystyle \lceil 1.7\rceil =2}

⌈ 3 ⌉ = ⌈ 1.732 ⋯ ⌉ = 2 {\displaystyle \lceil {\sqrt {3}}\rceil =\lceil 1.732\cdots \rceil =2}

⌈ − π ⌉ = ⌈ − 3.14 ⋯ ⌉ = − 3 {\displaystyle \lceil -\pi \rceil =\lceil -3.14\cdots \rceil =-3}

床関数と天井関数の性質
基本的性質

以下 x は任意の実数とする。

⌊ x ⌋ {\displaystyle \lfloor x\rfloor } は整数

⌊ x ⌋ ≤ x < ⌊ x ⌋ + 1 {\displaystyle \lfloor x\rfloor \leq x<\lfloor x\rfloor +1}

であるが、上記2つが床関数を特徴付ける。

同様に、天井関数は

⌈ x ⌉ {\displaystyle \lceil x\rceil } は整数

⌈ x ⌉ − 1 < x ≤ ⌈ x ⌉ {\displaystyle \lceil x\rceil -1<x\leq \lceil x\rceil }

によって特徴付けられる。

床関数と天井関数の関係は、x が整数、非整数であるかによってそれぞれ

⌈ x ⌉ − ⌊ x ⌋ {\displaystyle \lceil x\rceil -\lfloor x\rfloor } は 0 か 1

となる。床関数と天井関数の基本不等式を併せると

⌈ x ⌉ − 1 ≤ ⌊ x ⌋ ≤ x ≤ ⌈ x ⌉ ≤ ⌊ x ⌋ + 1 {\displaystyle \lceil x\rceil -1\leq \lfloor x\rfloor \leq x\leq \lceil x\rceil \leq \lfloor x\rfloor +1}

任意の整数 n に対し、 ⌊ n + x ⌋ = n + ⌊ x ⌋ {\displaystyle \lfloor n+x\rfloor =n+\lfloor x\rfloor } ⌈ n + x ⌉ = n + ⌈ x ⌉ {\displaystyle \lceil n+x\rceil =n+\lceil x\rceil }

床関数と天井関数は互いに他方を表せる：

⌈ x ⌉ = − ⌊ − x ⌋ {\displaystyle \lceil x\rceil =-\lfloor -x\rfloor }

⌊ x ⌋ = − ⌈ − x ⌉ {\displaystyle \lfloor x\rfloor =-\lceil -x\rceil }

床関数・天井関数は冪等である： ⌊ ⌊ x ⌋ ⌋ = ⌊ x ⌋ {\displaystyle \lfloor \lfloor x\rfloor \rfloor =\lfloor x\rfloor } ⌈ ⌈ x ⌉ ⌉ = ⌈ x ⌉ {\displaystyle \lceil \lceil x\rceil \rceil =\lceil x\rceil }

任意の整数 n に対し、 ⌊ n 2 ⌋ + ⌈ n 2 ⌉ = n {\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor +\left\lceil {\frac {n}{2}}\right\rceil =n} .

解析的性質

床関数と天井関数は広義増加である： x 1 < x 2 ⇒ ⌊ x 1 ⌋ ≤ ⌊ x 2 ⌋ {\displaystyle x_{1}<x_{2}\Rightarrow \lfloor x_{1}\rfloor \leq \lfloor x_{2}\rfloor } x 1 < x 2 ⇒ ⌈ x 1 ⌉ ≤ ⌈ x 2 ⌉ {\displaystyle x_{1}<x_{2}\Rightarrow \lceil x_{1}\rceil \leq \lceil x_{2}\rceil }

床関数・天井関数は、区分的に定数関数であり、整数点（すなわち、整数となる x）で不連続であるが半連続（床関数は上半連続、天井関数は下半連続）である。床関数・天井関数の非整数点での微分係数が存在し、0 である。

x が整数でないとき、床関数と天井関数は次のようにフーリエ級数展開できる：
⌊ x ⌋ = x − 1 2 + 1 π ∑ k = 1 ∞ sin ⁡ ( 2 π k x ) k . {\displaystyle \lfloor x\rfloor =x-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}.} ⌈ x ⌉ = x + 1 2 + 1 π ∑ k = 1 ∞ sin ⁡ ( 2 π k x ) k . {\displaystyle \lceil x\rceil =x+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}.}

同様に x が整数でないとき、逆余接関数と余接関数を用いて次のように表せる：
⌊ x ⌋ = x − 1 π arccot ⁡ ( cot ⁡ ( π x ) ) . {\displaystyle \lfloor x\rfloor =x-{\frac {1}{\pi }}\operatorname {arccot} {\bigl (}\cot(\pi x){\bigr )}.} ⌈ x ⌉ = x + 1 π arccot ⁡ ( cot ⁡ ( − π x ) ) . {\displaystyle \lceil x\rceil =x+{\frac {1}{\pi }}\operatorname {arccot} {\bigl (}\cot(-\pi x){\bigr )}.}

床関数と天井関数の平均は次のようにフーリエ級数展開できる： 1 2 ( ⌊ x ⌋ + ⌈ x ⌉ ) = x + 1 π ∑ k = 1 ∞ sin ⁡ ( 2 π k x ) k . {\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(\lfloor x\rfloor +\lceil x\rceil \right)=x+{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}.}

床関数の性質

x が整数、n が正の整数のとき、次の式が成り立つ。 ⌊ x n ⌋ ≥ x n − n − 1 n . {\displaystyle \left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor \geq {\frac {x}{n}}-{\frac {n-1}{n}}.}

n が整数のとき、n ? x と n ≤ ⌊ x ⌋ {\displaystyle n\leq \lfloor x\rfloor } は同値である。