等比数列（とうひすうれつ）または幾何数列（きかすうれつ、英: geometric progression, geometric sequence）は、隣り合う2つの項の比が項番号によらず等しい数列をいう。各項に共通するその一定の比のことを公比（こうひ、英: common ratio）という。

例えば初項が 4, 公比が 3 の等比数列の最初の数項を列挙すると 4, 12, 36, 108, … となる。ある数列について、隣り合う項の比（この場合、.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}12/4, 36/12, 108/36, …）が常に等しいならその数列は等比数列である。

等比数列 {an} について、（定義より公比は 0 でないため）公比 r は任意の n 番目の項とその次の項の比 r = an+1/an から得られる（特に r = 1 の場合は公差が 0 の等差数列でもある）。等比数列の各項は初項 a と公比 r を用いて具体的に以下のように表せる。 a , a r , a r 2 , … , a r n , … . {\displaystyle a,\,ar,\,ar^{2},\,\dots ,\,ar^{n},\,\dots \,.}

a0 を初項とすれば、n 番目の項 an は以下のように表せる。 a n = a r n . {\displaystyle a_{n}=ar^{n}.}

これが等比数列の一般項である。
性質

等比数列を漸化式で表すと、 { a 0 = a a n + 1 = r a n ( n ≥ 0 ) {\displaystyle {\begin{cases}a_{0}&=a\\a_{n+1}&=ra_{n}&(n\geq 0)\end{cases}}}

となる。

公比 r が負の場合は符号が一項ずつ入れ替わる。r = −|r| と置き換えると、 a n = a ( − 。 r 。 ) n = ( − 1 ) n a 。 r 。 n {\displaystyle a_{n}=a(-|r|)^{n}=(-1)^{n}a|r|^{n}}

となり、各項は n が奇数なら初項と異符号になり、偶数なら初項と同符号となる。公比が負の数列として、例えば　3, −6, 12, −24, …　なる公比 −2 の等比数列を考えると、その一般項は a n = 3 ⋅ ( − 2 ) n = ( − 1 ) n 3 ⋅ 2 n {\displaystyle a_{n}=3\cdot (-2)^{n}=(-1)^{n}\,3\cdot 2^{n}}

となる。公比が正であれば全ての項は初項と同じ符号を持つ。

形式的に等比数列の一般項の対数をとると log ⁡ a n = log ⁡ a + n log ⁡ r {\displaystyle \log a_{n}=\log a+n\log r}

となり、数列 log an は初項 log a 、公差 log r の等差数列になる。

等比数列の連続する3項を小さい順から a, b, c とすると、常に b2 = ac が成り立つ[注 1]。
等比数列の和

等比数列の初項から第 n 項までの和は以下の式で定義される。 ∑ k = 0 n a r k = a + a r + ⋯ + a r n {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}ar^{k}=a+ar+\dotsb +ar^{n}}

r ≠ 1 の場合、(1 − r) を掛けると、 ( 1 − r ) ∑ k = 0 n a r k = a ( 1 − r ) ∑ k = 0 n r k = a ( 1 − r ) ( 1 + r + ⋯ + r n − 1 + r n ) = a ( ( 1 + r + ⋯ + r n − 1 + r n ) − ( r + r 2 + ⋯ + r n + r n + 1 ) ) = a ( 1 − r n + 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}(1-r)\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}ar^{k}&=a(1-r)\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}r^{k}\\&=a(1-r)(1+r+\dotsb +r^{n-1}+r^{n})\\&=a\left((1+{\bcancel {r+\dotsb +r^{n-1}+r^{n}}})\right.\\&\left.-({\bcancel {r+r^{2}+\dotsb +r^{n}}}+r^{n+1})\right)\\&=a(1-r^{n+1})\end{aligned}}}

となるので、等比数列の和は以下のように変形できる。 ∑ k = 0 n a r k = a ( 1 − r n + 1 ) 1 − r ( r ≠ 1 ) . {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}ar^{k}={\dfrac {a(1-r^{n+1})}{1-r}}\quad (r\neq 1)\,.}

ただし、r = 1 の場合は ∑ k = 0 n a = ( n + 1 ) a {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}a=(n+1)a}

である。第 m 項から第 n 項までの和は ∑ k = m n a r k = ∑ k = 0 n a r k − ∑ k = 0 m − 1 a r k = a ( r m − r n + 1 ) 1 − r ( r ≠ 1 ) . {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{k=m}^{n}ar^{k}=\sum \limits _{k=0}^{n}ar^{k}-\sum \limits _{k=0}^{m-1}ar^{k}={\dfrac {a(r^{m}-r^{n+1})}{1-r}}\quad (r\neq 1)\,.}
等比級数

等比数列の級数（総和）を等比級数または幾何級数と呼ぶ[1]。例えば初項 a, 公比 r の等比級数は以下のように書ける： ∑ k = 0 ∞ a r k = a + a r + ⋯ + a r k + ⋯ . {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}=a+ar+\dotsb +ar^{k}+\dotsb {}\,.}