「平面充填」はこの項目へ転送されています。特定の領域への図形の詰め込み（パッキング）の意味での"充填"については「パッキング問題」を、その中でも特に円に関するものについては「球充填#円充填」をご覧ください。

「テセレーション」はこの項目へ転送されています。コンピュータグラフィックスにおける画像演算手法については「テッセレーション」をご覧ください。
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出典検索?: "タイル張り" ? ニュース ・ 書籍 ・ スカラー ・ CiNii ・ J-STAGE ・ NDL ・ dlib.jp ・ ジャパンサーチ ・ TWL（2016年11月）

幾何学において、タイル張り（タイルばり、英: tiling, tessellation）の問題とは、タイルと呼ばれる特定の種類の図形を用いて隙間も重なりもなく平面を敷き詰める問題のことである[1]。タイリング、タイル貼り、平面分割、平面充填[注 1]、テセレーション、平面の敷き詰めなどと呼ばれることもある。ただし「平面」を明言しない場合は、平面に限らず曲面のタイル張りを含む。例えば、多面体は多角形による球面のタイル張りともみなせる。

2次元以外の空間における広義のテセレーション等については、空間充填を参照。
1種類のタイルによるタイル張り
正多角形

単一タイル張り（monohedral tiling）、すなわち1種類でのタイル張りができる正多角形は、正三角形、正方形、正六角形の3種類のみであり[2]、ピタゴラスによって証明された[要出典]。これらは以下のようにどの頂点も別のタイルの辺と（端点以外で）接しないようにタイル張りできる。

正三角形によるタイル張り

正方形によるタイル張り

正六角形によるタイル張り

このようなタイル張りは、正多面体や星型正多面体と同様にシュレーフリ記号 {p, q} （正 p 角形が q 個頂点に集まる）で表せる。

正三角形 {3, 6}

正方形 {4, 4}

正六角形 {6, 3}

単一タイル張り可能な正 p 角形の内角を q 倍すると 360° になるので、 ( p − 2 ) × 180 ∘ p × q = 360 ∘ {\displaystyle {\frac {(p-2)\times 180^{\circ }}{p}}\times q=360^{\circ }}

が成り立つ。これを整理すると ( p − 2 ) ( q − 2 ) = 4 {\displaystyle (p-2)(q-2)=4}

と表せて、正整数の解は上の3つだけであることから、単一タイル張り可能な正多角形はこの3つしか存在しないことが証明できる[注 2]。

正三角形と正方形については、頂点が別のタイルの辺と接するようにもできる。ただし、その辺をその接点で2辺に分け、内角180°で接しているとみなせば、これらは後述する一般の四角形や平行六角形によるタイル張りの特殊な場合である。
平行四辺形・任意の三角形

全ての平行四辺形は単一タイル張り可能であり、また、全ての三角形は合同なものを2つ組み合わせることで平行四辺形となることから、全ての三角形は単一タイル張り可能である[3]。





平行六角形・任意の四角形

全ての合同な平行六角形（parallelohexagon、3組の対辺がいずれも平行で等長な六角形）は単一タイル張り可能であり、また、全ての四角形は合同なものを二つ組み合わせることで平行六角形となることから、全ての四角形は単一タイル張り可能である。

平行六角形は、中心を通る直線で合同な2つの五角形に分けられる。このような五角形も単一タイル張り可能である。





これらの変形

単一タイル張り可能な図形に対して、対応する場所に凹凸をつけた場合も単一タイル張り可能である。

正方形の例：

平行六辺形の例：







多角形
五角形

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詳細は「:en:Pentagonal tiling」を参照

五角形のタイル張り（英語版）は現代においても未解明の事柄が多く、研究の対象になっている。

とくに、それ一種類で平面を周期的にタイル張りできるような凸五角形の形状は、これまでに15種類の型(type)が知られている。驚くべきことに、そのうちの4種類は1976年と1977年にアマチュアの数学者である主婦マージョリー・ライス（英語版）によって発見された。最新となる15番目の型がワシントン大学ボセル校のケイシー・マン（英語版）ら3人によって発見されたのは2015年のことである。@media screen{.mw-parser-output .fix-domain{border-bottom:dashed 1px}}そして、これら15種類で全てであることは既に証明されている。[要出典]2015年に発見された、15番目の凸五角形タイル張り。

このほか、凸でない五角形を用いたものや、非周期的なタイル張りも研究されている。Hirschhornによる例。6回回転対称性をもつが、平行移動による周期性をもたない。
六角形詳細は「:en:Hexagonal tiling」を参照

六角形のタイル張り（英語版）

一種類で平面を周期的にタイル張りできるような凸六角形の形状は3種類の型(type)が知られている。「:en:Hexagonal tiling#Monohedral convex hexagonal tilings」も参照
七角形詳細は「:en:Heptagonal tiling」を参照

七角形のタイル張り（英語版）

八角形詳細は「:en:Octagonal tiling」を参照

八角形のタイル張り（英語版）

アルキメデスのタイル張りの双対

#タイル張りの双対を参照。
複数種類のタイルによるタイル張り
正多角形

一種類の場合と同じように、正多角形のみでできていて、頂点形状が一様なアルキメデスのタイル張りと呼ばれる平面充填が8種類あり[1]、半正多面体の一種とされることもある。