平方完成（へいほうかんせい、英: completing the square）とは、二次式（二次関数）を式変形して a ( x − h ) 2 {\displaystyle a(x-h)^{2}} の形を作り、一次の項を見かけ上なくすことである。この式変形は全ての二次式に可能で、一意に決まる。 a x 2 + b x + c = a ( x − h ) 2 + k ( a ≠ 0 ) {\displaystyle ax^{2}+bx+c=a(x-h)^{2}+k\quad (a\neq 0)}

x − h {\displaystyle x-h} の h {\displaystyle h} を除けば、つまり x − h = t {\displaystyle x-h=t} と変換すれば a t 2 + k {\displaystyle at^{2}+k}

の形に帰着される。このことより、以下のことが導出できる：

二次方程式の解を求める（→二次方程式の解の公式）

二次関数のグラフの頂点の座標を求める

微分積分学で、冪指数に一次の項を含むガウス積分の計算

ラプラス変換の計算

また、平方完成の考え方を応用して解く手法も見られる（#類似の手法）。
概観

二次式 a x 2 + b x + c   ( a ≠ 0 ) {\displaystyle ax^{2}+bx+c\ (a\neq 0)} において、一次の項「 + b x {\displaystyle +\;\!\;\!bx} 」があるのとないのでは、応用上の取り扱いが大きく異なる。

変数 x {\displaystyle x} が x − h {\displaystyle x-h} の形になる代わりに一次の項がなくなれば、 h {\displaystyle h} の違いだけで済むことができる。

ここでは、二次の係数（最高次係数）が 1 の場合とそうでない場合に分けてみる。
二次の係数（最高次係数）が 1 の場合
x 2 + b x + c {\displaystyle x^{2}+bx+c}

の一次の項「 + b x {\displaystyle +\;\!\;\!bx} 」をなくして x 2 {\displaystyle x^{2}} を ( x − h ) 2 {\displaystyle (x-h)^{2}} の形にする。 ( x − h ) 2 = x 2 − 2 h x + h 2 {\displaystyle (x-h)^{2}=x^{2}-2hx+h^{2}}

より、一次の係数を比較すると b = − 2 h {\displaystyle b=-2h} h = − b 2 {\displaystyle h=-{\frac {b}{2}}}

これにより、x2 + bx + c の平方完成は次の式になる： x 2 + b x + c = ( x + b 2 ) 2 − b 2 4 + c {\displaystyle x^{2}+bx+c=\left(x+{\frac {b}{2}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4}}+c}
二次の係数（最高次係数）が 1 でない場合
a x 2 + b x + c ( a ≠ 0 ) {\displaystyle ax^{2}+bx+c\quad (a\neq 0)}

の一次の項「 + b x {\displaystyle +\;\!\;\!bx} 」をなくして x {\displaystyle x} を x − h {\displaystyle x-h} にする。

二次の係数が 1 の場合で得られた等式 x 2 + b x = ( x + b 2 ) 2 − b 2 4 {\displaystyle x^{2}+bx=\left(x+{\frac {b}{2}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4}}}

を利用する。 a x 2 + b x + c = a ( x 2 + b a x ) + c = a { ( x + b 2 a ) 2 − ( b 2 a ) 2 } + c = a ( x + b 2 a ) 2 − b 2 4 a + c = a ( x + b 2 a ) 2 − b 2 − 4 a c 4 a {\displaystyle {\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&=a\left(x^{2}+{\frac {b}{a}}x\right)+c\\&=a\left\{\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}\right\}+c\\&=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4a}}+c\\&=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}\end{aligned}}} [1]

つまり、一次以上の項を二次の係数 a で括ることにより、二次の係数が 1 の場合を利用している。
二次形式の平方完成

1変数の二次式の平方完成を踏まえて、一般の n 変数二次式に対しても、平方完成ができる。例えば二変数なら a x 2 + b x y + c y 2 + d x + e y + f ( a b c ≠ 0 ) {\displaystyle ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f\quad (abc\neq 0)}

である。これは二次形式 ( x y ) ( a b 2 b 2 c ) ( x y ) + ( x y ) ( d e ) + f ( a b c ≠ 0 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&{\frac {b}{2}}\\{\frac {b}{2}}&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}d\\e\end{pmatrix}}+f\quad (abc\neq 0)}

の形で書ける。

一般の n 変数二次式は、A を対称行列として t x A x + t x b + c = t ( x − h ) A ( x − h ) + k ( h = − 1 2 A − 1 b , k = c − 1 4 t b A − 1 b ) {\displaystyle {}^{t}xAx+{}^{t}xb+c={}^{t}(x-h)A(x-h)+k\quad \left(h=-{\frac {1}{2}}A^{-1}b,\quad k=c-{\frac {1}{4}}{}^{t}bA^{-1}b\right)}