この項目では、数学・統計学の平均について説明しています。他の平均については「平均 (曖昧さ回避)」をご覧ください。

平均（へいきん、英: mean, average, 独: Mittelwert, 仏: moyenne）または平均値（へいきんち、英: mean value, average value）とは、数学・統計学において、数の集合やデータの中間的な値を指す。欧米語の原意の中間（値）などと和訳することは少ない。

狭い意味での中間値にとどまらず、算術平均（相加平均）・幾何平均（相乗平均）・調和平均・対数平均など様々な種類で用いられる。一般的には特に算術平均を指し、集合の要素の総和を要素数で割ったものである[1][2]。
算術平均を用いる際の注意

科学観測や社会調査から得られるデータでは、算術平均を代表値の一つとして用いる。算術平均が中央値、最頻値、中点値と比べてデータの特徴をよく表すものかどうかを検討する必要がある。正規分布に近い場合は算術平均と標準偏差を用いることは適切だが、そうでない分布の場合は、算術平均値が度数の多い値を示すとはいえない。

例えば、国民（例えば日本人）の所得について考える。このデータでは、一部の高所得者が算術平均値を引き上げてしまい、算術平均値をとる世帯は実際にはほとんどいないということになる。よってこの場合正規分布には従わない。日本の国税庁の民間給与実態統計調査によると、平成29年度の場合、給与所得の算術平均値は423万円だが、最頻値は300万円?400万円の区分であり、ずれている[3]。従って、一般的な世帯の所得をとらえるには中央値や最頻値が有効であるが、所得は97%?99%は所得の対数値が正規分布（対数正規分布）に従っているため[4]、所得の対数値の算術平均、つまり幾何平均を用いるのが適切な所得の代表値であるともいえる。

分布が左右対称でない時、中央値、最頻値を用いると良い場合もある。また、飛び抜けた値（外れ値）がごく少数の場合には、最大と最小を除外した刈込平均（トリム平均（英語版））を用いることもある。平均が中央値、最頻値、中点値と乖離している場合は刈込平均を含めた平均以外の使用を考えるとよい[5]。
統計学

統計学では、平均値とは普通は算術平均（相加平均）のことを指す。これはデータの値から算術的に計算して得られる統計指標値の一つである。
母平均と標本平均

統計学では平均には母平均と標本平均がある。母平均は、母集団の相加平均のこと。標本平均は、抽出した標本（母集団の部分集合）の相加平均のこと。母平均を μ、標本平均を m と書いて区別する場合がある[6][7]。
相加平均詳細は「算術平均」を参照

算術平均（さんじゅつへいきん、英: arithmetic mean, 独: arithmetisches Mittel, 仏: moyenne arithmetique）とも呼ぶ。

相加平均は μ = 1 n ∑ i = 1 n x i = x 1 + x 2 + ⋯ + x n n {\displaystyle \mu ={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}={\dfrac {x_{1}+x_{2}+\dotsb +x_{n}}{n}}}

で定義される。式変形して n μ = ∑ i = 1 n x i = x 1 + x 2 + ⋯ + x n {\displaystyle n\mu =\sum _{i=1}^{n}x_{i}=x_{1}+x_{2}+\dotsb +x_{n}}

と表すこともできる。

x 1 , x 2 , … , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}} の相加平均を x ¯ {\displaystyle {\bar {x}}} とも表す。

相加平均は、加法とスカラー倍が定義された数（実数、複素数、ベクトル等）に対して定義できる。
一般化平均
相乗平均詳細は「幾何平均」を参照

相乗平均（そうじょうへいきん）または幾何平均（きかへいきん、英: geometric mean, 独: geometrisches Mittel, 仏: moyenne geometrique）は μ G = ∏ i = 1 n x i n = x 1 x 2 ⋯ x n n {\displaystyle \mu _{\mathrm {G} }={\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}x_{i}}}={\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\dotsb x_{n}}}}

で定義される。幾何平均は相乗平均と同義の用語である。

式変形して μ G n = ∏ i = 1 n x i = x 1 x 2 ⋯ x n {\displaystyle {\mu _{\mathrm {G} }}^{n}=\prod _{i=1}^{n}x_{i}=x_{1}x_{2}\dotsb x_{n}}

とも表せる。

対数を取ると μ G = exp ⁡ ( 1 n ∑ i = 1 n log ⁡ x i ) {\displaystyle \mu _{\mathrm {G} }=\exp \left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\log x_{i}\right)} n log ⁡ μ G = ∑ i = 1 n log ⁡ x i {\displaystyle n\log \mu _{\mathrm {G} }=\sum _{i=1}^{n}\log x_{i}}

となり、相乗平均は、対数の算術平均の指数関数である。あるいは、相乗平均の対数は対数の算術平均である。

データに1つ以上の 0 があるときは、相乗平均は 0 となる。値全てが実数であっても、積が負の場合は、相乗平均は実数の範囲内では存在しない。また複素数の範囲内では、値全てが実数であって積が正負いずれであっても、相乗平均は一意に定まらない可能性がある。

相乗平均は、積と累乗根が定義された数（実数、複素数）について定義できる。
調和平均詳細は「調和平均」を参照

調和平均（ちょうわへいきん、英: harmonic mean）は μ H = n ∑ i = 1 n 1 x i = n 1 x 1 + 1 x 2 + ⋯ + 1 x n {\displaystyle \mu _{\mathrm {H} }={\frac {n}{\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}={\frac {n}{{\tfrac {1}{x_{1}}}+{\tfrac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\tfrac {1}{x_{n}}}}}}

で定義される。あるいは n μ H = ∑ i = 1 n 1 x i = 1 x 1 + 1 x 2 + ⋯ + 1 x n {\displaystyle {\frac {n}{\mu _{\mathrm {H} }}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}={\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}