この項目では、調律法の平均律について説明しています。バッハの作品については「平均律クラヴィーア曲集」をご覧ください。
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平均律（へいきんりつ）（英: equal temperament）は、1オクターヴなどの音程を均等な周波数比で分割した音律。多種類が考案されている。西洋音楽で用いられる十二平均律がよく知られている。
十二平均律

十二平均律とは、1オクターヴを12等分した音律である。隣り合う音（半音）の周波数比は等しく 2 12 : 1 {\displaystyle {\sqrt[{12}]{2}}:1} （100セント）となる。

1オクターヴを12等分するという方法による十二平均律では、1度(ユニゾン)と8度(オクターヴ)を除いて簡単な整数比率による純正な音程は得られない。その代わりピタゴラス音律や中全音律で生じる著しく誤差の大きな音程（ウルフ）によって妨げられること無く、全ての調で演奏が可能で、転調や移調が自由に行える[注 1]。十二平均律では半音の大きさは均一であり、異名同音は実際に同じ音となる。十二平均律はピタゴラス音律を調整してピタゴラスコンマを全ての完全5度に均等に拡散した音律であると考えることもできる。その結果、十二平均律の完全5度は純正音程から1/12ピタゴラスコンマ分狭くなっているものの、その差は比較的少ない。一方で長短の3度は、ピタゴラス音律よりは純正音程に近いが、依然として差が大きい。

平均律はギターなどのフレット式弦楽器との親和性が高い。楽器の調律において、純正な音程は2つの音を同時に出し倍音のうなりが消えるようにすることで調律できるが、平均律ではユニゾンとオクターヴ以外に純正な音程が存在しないため、鍵盤楽器などの調律は容易ではない。一方、フレット式楽器やモノコードなどでは、幾何的に弦の分割点を設定することで平均律を実現できる。また、フレット式楽器では、平均律以外の半音の音程が一定でない音律では、各弦に対するフレット間隔が揃わず、直線のフレットを用いるには不都合である。

音程十二平均律による値数値セント値純正音程純正音程のセント値セント値の差
(純正)-(平均)
一度 2 0 / 12 = 1 {\displaystyle 2^{0/12}=1} 1.0000000 1 1 {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{1}}\end{matrix}}} = 1.00000000.000
短二度 2 1 / 12 = 2 12 {\displaystyle 2^{1/12}={\sqrt[{12}]{2}}} 1.059463100 16 15 {\displaystyle {\tfrac {16}{15}}} = 1.06666…111.73+11.73
長二度 2 2 / 12 = 2 6 {\displaystyle 2^{2/12}={\sqrt[{6}]{2}}} 1.122462200 9 8 {\displaystyle {\tfrac {9}{8}}} = 1.1250000203.91+3.91
短三度 2 3 / 12 = 2 4 {\displaystyle 2^{3/12}={\sqrt[{4}]{2}}} 1.189207300 6 5 {\displaystyle {\tfrac {6}{5}}} = 1.2000000315.64+15.64
長三度 2 4 / 12 = 2 3 {\displaystyle 2^{4/12}={\sqrt[{3}]{2}}} 1.259921400 5 4 {\displaystyle {\tfrac {5}{4}}} = 1.2500000386.31-13.69
完全四度 2 5 / 12 = 32 12 {\displaystyle 2^{5/12}={\sqrt[{12}]{32}}} 1.33484500 4 3 {\displaystyle {\tfrac {4}{3}}} = 1.33333…498.04-1.96
三全音 2 6 / 12 = 2 {\displaystyle 2^{6/12}={\sqrt {2}}} 1.414214600 45 32 {\displaystyle {\tfrac {45}{32}}} = 1.4062500590.22-9.78
完全五度 2 7 / 12 = 128 12 {\displaystyle 2^{7/12}={\sqrt[{12}]{128}}} 1.498307700 3 2 {\displaystyle {\tfrac {3}{2}}} = 1.5000000701.96+1.96
短六度 2 8 / 12 = 4 3 {\displaystyle 2^{8/12}={\sqrt[{3}]{4}}} 1.587401800 8 5 {\displaystyle {\tfrac {8}{5}}} = 1.6000000813.69+13.69
長六度 2 9 / 12 = 8 4 {\displaystyle 2^{9/12}={\sqrt[{4}]{8}}} 1.681793900 5 3 {\displaystyle {\tfrac {5}{3}}} = 1.66666…884.36-15.64
短七度 2 10 / 12 = 32 6 {\displaystyle 2^{10/12}={\sqrt[{6}]{32}}} 1.7817971000 16 9 {\displaystyle {\tfrac {16}{9}}} = 1.77777…996.09-3.91
長七度 2 11 / 12 = 2048 12 {\displaystyle 2^{11/12}={\sqrt[{12}]{2048}}} 1.8877491100 15 8 {\displaystyle {\tfrac {15}{8}}} = 1.87500001088.27-11.73
八度 2 12 / 12 = 2 {\displaystyle 2^{12/12}={2}} 2.0000001200 2 1 {\displaystyle {\tfrac {2}{1}}} = 2.00000001200.000

歴史

中国では、明代後期の朱載?（1536年 - 1611年）は、伝統的な十二律の求め方である三分損益法を批判し、万暦12年（1584年）に『律学新説』の中で、新しい方法「新法密率」を提唱した[1]。これが2の12乗根に基づく平均律の算出の最初の例である。朱載?の計算方法は、まずオクターヴを平方根で2等分して増4度/減5度（3全音）を得、次いでそれを平方根で2等分して短3度（1全音と半音）を得、最後にこれを立方根で3等分して短2度（半音）を得るものである。彼はその計算結果を25桁の数で記述した。