局所密度近似（きょくしょみつどきんじ、英: Local Density Approximation、略称LDA）は、密度汎関数理論（DFT）における理論に現れる交換相関（XC）エネルギー汎関数に対する近似の一部類である。空間中の各点での電子密度（英語版
）の値だけに依っている（密度の導関数やコーン?シャム軌道には依存しない）。多くのアプローチによってXCエネルギーに対する局所近似を得ることができる。しかしながら、圧倒的に成功を収めている局所近似は均一電子ガス（HEG）モデルから導かれたものである。この点に関しては、LDAはHEG近似に基づく汎関数と一般的に同義である。一般に、スピン非偏極系について、交換相関エネルギーに対する局所密度近似は次のような関数系を仮定する。 E x c L D A [ ρ ] = ∫ ρ ( r ) ϵ x c ( ρ ( r ) ) d r {\displaystyle E_{\mathrm {xc} }^{\mathrm {LDA} }[\rho ]=\int \rho ({\boldsymbol {r}})\epsilon _{\mathrm {xc} }(\rho ({\boldsymbol {r}}))\ \mathrm {d} {\boldsymbol {r}}\ }
上式において、ρは電子密度、εxcは電荷密度ρを持つ均一電子ガスの粒子毎の交換相関エネルギーである。この仮定では空間の各点で（つまり局所的に）電子の交換・相関エネルギー密度 ϵ x c {\displaystyle \epsilon _{\rm {xc}}} が決まっており、 ϵ x c {\displaystyle \epsilon _{\rm {xc}}} はその場所の電子密度 n ( r ) {\displaystyle n({\boldsymbol {r}})} だけの関数になっている。この交換相関エネルギーは交換項と相関項に線形に分解される。 E x c = E x + E c {\displaystyle E_{\mathrm {xc} }=E_{\mathrm {x} }+E_{\mathrm {c} }}
こうすることで、ExとEcについて別々の式を探すことができる。交換項はHEGに対して単純な解析形を取る。相関密度については限定的な式しか厳密に知られておらず、εcに対する膨大な数の異なる近似が生み出された。
ホーヘンベルグ・コーンの定理によれば、この E x c {\displaystyle E_{\rm {xc}}} は取り扱う系に依存しない普遍的な関数である。よって、もし局所密度近似が妥当であれば、 ϵ x c {\displaystyle \epsilon _{\rm {xc}}} は（計算しやすい）一様電子系について求めた値でも、実際に計算したい系の値でも同じはずである。このようにして、一様電子系についてもとめた ϵ x c {\displaystyle \epsilon _{\rm {xc}}} を用いることが正当化され、実際の計算に用いることができる。
実際に用いられる ϵ x c {\displaystyle \epsilon _{\rm {xc}}} の関数形は、厳密に求められる低密度、高密度の極限からの外挿によるもの[1][2][3][4][5]や、モンテカルロ法を使ったもの[6][7][8]などがある。
局所密度近似は、一般化勾配近似（GGA）や混成汎関数といった交換相関エネルギーに対するより洗練された近似の構築において重要である。これは、いかなる近似交換相関汎関数も均一電子ガスの厳密な結果を再現することが望まれるためである。こういったものとして、LDAはこういった汎関数の陽な混成要素としてしばしば取り入れられている。 局所密度近似はGGAと同様に固体物理学者によって半導体酸化物やスピントロニクスを含む半導体素材中の電子および磁気相互作用を解釈するためのDFT研究において広範に利用されている。これらの計算研究の重要性は、第一原理に基づく解析を必要とする合成パラメータに対する高い感受性を引き起す系の複雑さに由来する。ドープされた半導体酸化物中のフェルミ準位とバンド構造の予測はCASTEPやDMol3といったシミュレーションパッケージに取り入れられたLDAを使ってしばしば行われる[9]。しかしながら、LDAおよびGGAとしばしば関係しているバンドギャップ値の過小評価は、こういった系における不純物媒介伝導性とキャリア媒介磁性の両方またはいずれか一方の誤った予測をもたらしうる[10]。1998年に始まった固有値についてのレイリーの定理 電子密度にのみ依存したεxcに対する近似は数多くのやり方で開発することができる。最も成功を収めているやり方は均一電子ガス（HEG）に基づく。これは、相互作用のあるN個の電子を、系を中性に保つ正の背景電荷を有する体積Vに置くことによって構築される。NおよびVは次に、電子密度 (ρ = N / V) を有限に保つようなやり方で無限大まで持っていかれる。これは、全エネルギーが運動エネルギーおよび交換-相関エネルギーのみからの寄与によって構成され、波動関数が平面波の観点から表現できるため有用な近似である。具体的には、一定密度ρに対して、交換エネルギー密度はρ?に比例する。 HEGの交換エネルギー密度は解析的に知られている。交換に対するLDAは、密度が均一でない系における交換エネルギーがHEGの結果を各点に適用することによって得られるという近似の下でこの式を使用して、以下の式を得る[13][14]。
応用
均一電子ガス
交換汎関数