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数学においてアーベル圏 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} の導来圏（どうらいけん、英: Derived category、仏: Categorie derivee） D ( A ) {\displaystyle D({\mathcal {A}})} はホモロジー代数から構成されるもので、 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 上に定義された導来函手の理論を精密化するとともに、ある意味で単純化するべく導入された。その構成は基本的には次の様に進む：まず圏 D ( A ) {\displaystyle D({\mathcal {A}})} の対象は A {\displaystyle {\mathcal {A}}} の双対鎖複体であり、次に2つのその様な双対鎖複体の間にチェイン写像が存在してコホモロジーを取った段階で同型を誘導する場合に同型であると考えるのである。このとき、導来函手は双対鎖複体に対して定義され、超コホモロジー（英語版）の考えを精密化したものとなる。これらの定義により、煩雑なスペクトル系列を用いて（完全に忠実ではなく）記述されるよりほか無かった式は劇的に簡素化される。

導来圏の発展は、アレクサンドル・グロタンディークと彼の学生のジャン・ルイ・ヴェルディエ（英語版）により1960年代初頭になされ、ホモロジー代数が長足の進歩を遂げた1950年代における爆発的な展開の一つの到達点であると現在ではみなされている。ヴェルディエによる理論の基本部分は博士論文に纏められたが、1996年になってようやくAsterisque（要約はずっと早くにSGA 4?（英語版）に収録されていた）に出版された[1]。その定式化には革新的な発想である三角圏（英語版）の概念が必要であり、その構成は環の局所化を一般化した圏の局所化（英語版）に基づく。"導来"形式の展開への原動力となった欲求は、グロタンディークによる連接双対（英語版）の理論のなんらかの意味での定式化を行うことであった。導来圏は以後、代数幾何学以外の領域に於いてさえ、たとえば、D-加群や超局所解析でも不可欠な概念となっている。さらに、近年は、ミラー対称性やD-ブレーンの定式化という物理学に近い領域でも、導来圏が重要な役割を果たすようになっている。
動機[ソースを編集]

スキーム上の連接層の理論において、非特異スキームという仮定なしにセール双対の理論をどこまで展開できるかという考えを推し進めると、単なる双対化層の代わりに層の複体を考える必要が出てくる。実際、考えているスキームが（非特異という条件を弱めた）コーエン・マコーレーであるという条件は、双対化層が存在するという条件と同値である。しかしこの条件は全く一般的ではない。グロタンディークが取っていた高い位置から俯瞰的に考える立場からすると、この状況は理論を再定式化する必要性を表していた。これに付随して、「正しい」テンソル積やHom関手は導来圏のレベルで存在するだろうというアイデアが現れ、さらにTor関手とExt関手はそれらの導来圏レベルの関手をより具体的に計算するためのツールのようなものとなった。

抽象度が高いにもかかわらず、特に層コホモロジーの設定での利便性により、導来圏はその後の数十年で受け入れられるようになった。おそらく、1980年頃、導来圏のことばで 1 よりも大きな次元でのリーマン・ヒルベルト対応（英語版）を定式化したことが、最も大きな前進であっただろう。佐藤スクールは導来圏の言葉を使い、D-加群の理論をこの言葉で記述した。

平行して発展した理論は、ホモトピー論でのスペクトル（英語版）の圏の理論である。スペクトルのホモトピー圏と環の導来圏は、双方とも三角圏（英語版）の例である。
定義[ソースを編集]

A {\displaystyle {\mathcal {A}}} をアーベル圏とする[注釈 1]。導来圏 D ( A ) {\displaystyle D({\mathcal {A}})} はいくつかのステップを踏んで得られる。

基本となるのは、 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} における双対鎖複体
⋯ → X − 1 → d − 1 X 0 → d 0 X 1 → d 1 X 2 → ⋯ {\displaystyle \dotsb \rightarrow X^{-1}{\xrightarrow {d^{-1}}}X^{0}{\xrightarrow {d^{0}}}X^{1}{\xrightarrow {d^{1}}}X^{2}\rightarrow \dotsb }

の圏 Kom ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})} である。この圏の対象が導来圏の対象となるが、射は異なる。

鎖ホモトピック（英語版）な射を同一視することにより、双対鎖複体のホモトピー圏（英語版） K ( A ) {\displaystyle K({\mathcal {A}})} を得る。

擬同型の集合での局所化（英語版）により、導来圏 D ( A ) {\displaystyle D({\mathcal {A}})} を得る。導来圏の射は、経路図式 X ← X'→ Y として明示的に表現される。ここに X' → X は擬同型であり、X' → Y は双対鎖複体の任意の射である。

特に、ホモトピー同値が擬同型となっているので、第二のステップは避けることができる。しかし、射の単純な経路図式の定義は、より複雑な射の別の有限個の矢印により置き換える必要がある（テクニカルには、「分数の計算」を超えたものとなる（容易には計算できないことを意味する））。したがって、第一のステップの構成で十分ではあるのだが、一層、より複雑となってしまう。

モデル圏の観点からは、導来圏 D ( A ) {\displaystyle D({\mathcal {A}})} は双対鎖複体の真のホモトピー圏であり、一方、 K ( A ) {\displaystyle K({\mathcal {A}})} はナイーブなホモトピー圏と呼ばれる。
三角圏から導来圏への注意[ソースを編集]

双対鎖複体 X が下に有界とは、n << 0 に対し Xn = 0 であることで、上に有界とは、n >> 0 に対し Xn = 0 であることで、単に有界とは、|n。>> 0 に対し Xn = 0 のことである。（以下に見るように）なんらかの目的のため、有界ではない双対鎖複体の代わりとして、下に有界、上に有界、あるいは有界な双対鎖複体を使う。対応する導来圏は、通常、それぞれに対し、 D + ( A ) ,   D − ( A ) ,   D b ( A ) {\displaystyle D^{+}({\mathcal {A}}),\ D^{-}({\mathcal {A}}),\ D^{b}({\mathcal {A}})} と記す。

（クラスの考え方ではなく）ある対象から別の対象への射の集合が存在するという圏の古典的観点を適用するとき、導来圏に変更することを証明するには、議論を追加する必要がある。

アーベル圏 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} が小さい場合、つまり、対象の集合しか持たない場合は、何も問題がない。 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} がグロタンディークアーベル圏（英語版）であったとしても、導来圏 D ( A ) {\displaystyle D({\mathcal {A}})} はホモトピー圏 K ( A ) {\displaystyle K({\mathcal {A}})} の充満部分圏に同値であるので、ある対象から他への射の集合を持つのみである[2]。グロタンディークアーベル圏は、環の上の加群の圏や位相空間上のアーベル群の層の圏や他の例を多く含んでいる。

しかしながら、導来圏での 2つの射の合成は、合成される 2つの射の頂点に、ある第三の射を見つけることで完成する。このことが確認できて始めて、well-definedで結合的な合成であることが完成する。