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出典検索?: "射影直線" ? ニュース ・ 書籍 ・ スカラー ・ CiNii ・ J-STAGE ・ NDL ・ dlib.jp ・ ジャパンサーチ ・ TWL（2009年12月）

数学の特に射影幾何学における射影直線（しゃえいちょくせん、英: projective line）は、俗に言えば通常の直線に無限遠点と呼ばれる補助的な点を付け加えて延長したものである。これにより、初等幾何学における多くの定理の主張や証明が（特別な場合を除く必要が無くなり）簡素な記述になる。例えば、二つの相異なる射影直線は射影平面においてちょうど一点において交わる（「平行」な場合は存在しない）。

射影直線の定式化には同値な多くの方法が存在する。もっとも広く用いられるのは、射影直線を二次元ベクトル空間内の一次元部分線型空間全体の成す集合として定義するものである。これはより一般の射影空間の定義の特別の場合になっている。
斉次座標系

体 K 上の射影直線 P1(K) の各点は斉次座標（英語版）（の同値類）によって表される。これは K の同時には零にならない元の対 [ x 1 : x 2 ] {\displaystyle [x_{1}:x_{2}]}

として書かれ、この形の二つの対に対して一方が他方の非零定数倍となるならば同値: [ x 1 : x 2 ] ∼ [ λ x 1 : λ x 2 ] ( ∃ λ ≠ 0 ) {\displaystyle [x_{1}:x_{2}]\sim [\lambda x_{1}:\lambda x_{2}]\quad (\exists \lambda \neq 0)}

というものである。
直線を無限遠点まで延長する

P1(K) は「直線」K を無限遠点で延長したものと同一視することができる。より具体的には、直線 K は P1(K) の {[x : 1] ∈ P1(K)  |  x ∈ K} なる部分集合と同一視され、これは「無限遠点」 ∞ = [1 : 0] をただ一点だけ除く全ての P1(K) の各点を被覆する。

この標準的な埋め込みに従って K 上の算術を、以下のような追加の規則: 1 0 = ∞ , 1 ∞ = 0 , {\displaystyle {\frac {1}{0}}=\infty ,\quad {\frac {1}{\infty }}=0,} x ⋅ ∞ = ∞ ( x ≠ 0 ) , {\displaystyle x\cdot \infty =\infty \quad (x\neq 0),} x + ∞ = ∞ ( x ≠ ∞ ) {\displaystyle x+\infty =\infty \quad (x\neq \infty )}

を定めて P1(K) まで延長することができる。斉次座標に関して書けば、（式中に [0 : 0] が発生しない限りにおいて） [ x 1 : x 2 ] + [ y 1 : y 2 ] = [ x 1 y 2 + y 1 x 2 : x 2 y 2 ] , {\displaystyle [x_{1}:x_{2}]+[y_{1}:y_{2}]=[x_{1}y_{2}+y_{1}x_{2}:x_{2}y_{2}],} [ x 1 : x 2 ] ⋅ [ y 1 : y 2 ] = [ x 1 y 1 : x 2 y 2 ] , {\displaystyle [x_{1}:x_{2}]\cdot [y_{1}:y_{2}]=[x_{1}y_{1}:x_{2}y_{2}],} [ x 1 : x 2 ] − 1 = [ x 2 : x 1 ] {\displaystyle [x_{1}:x_{2}]^{-1}=[x_{2}:x_{1}]}

が成り立つ。
例
実射影直線詳細は「実射影直線」を参照

実数体 R 上の射影直線を実射影直線と呼ぶ。これは実数直線 R = R1 に理想化された一つの無限遠点 ∞ を付け加えたものとしても考えられ、R1 の両端点は無限遠で接合されて閉路（位相的な意味での円周）を成す。

これは例えば、実平面 R2 の各点を単位円周の上への射影して対蹠点（英語版）を同一視することで得られる。群論の言葉で言えば、円周群をその部分群 {1, −1} で割った剰余群である。

実数直線 R1 に相異なる二つの無限遠点 ∞, ?∞ を付け加えて得られる補完数直線の場合と比較せよ。
複素射影直線詳細は「リーマン球面#複素射影直線としてのリーマン球面」を参照