数学、特に線型代数学において、対角行列(たいかくぎょうれつ、英: diagonal matrix)とは、正方行列であって、その対角成分((i, i)-要素)以外が零であるような行列のことである。 [ c 1 0 c 2 ⋱ 0 c n ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}c_{1}&&&0\\&c_{2}&&\\&&\ddots &\\0&&&c_{n}\end{bmatrix}}}
この対角行列は、クロネッカーのデルタを用いて (ci δij) と表現できる。また、しばしば diag(c1, c2, ..., cn)
のようにも書かれる。
単位行列やスカラー行列は対角行列の特殊例である。 [ 1 0 0 2 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&2\\\end{bmatrix}}} [ 1 0 0 0 0 10 0 0 0 0 − 8 0 0 0 0 7 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&10&0&0\\0&0&-8&0\\0&0&0&7\end{bmatrix}}} 三重対角行列(さんじゅうたいかくぎょうれつ、tridiagonal matrix
性質
対角行列の行列式は、各対角成分の総乗 Πci に等しい。対角行列の行列式は、対角成分が等しい上三角行列、下三角行列の行列式とも等しくなる。
対角行列の転置行列は同一である。そのため対角行列は対称行列でもある。
対角行列の逆行列は対角成分の逆数を並べた対角行列である。 [ c 1 0 c 2 ⋱ 0 c n ] − 1 = [ c 1 − 1 0 c 2 − 1 ⋱ 0 c n − 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}c_{1}&&&0\\&c_{2}&&\\&&\ddots &\\0&&&c_{n}\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}c_{1}^{-1}&&&0\\&c_{2}^{-1}&&\\&&\ddots &\\0&&&c_{n}^{-1}\end{bmatrix}}}
例
三重対角行列