対称式（たいしょうしき、symmetric polynomial）あるいは対称多項式（たいしょうたこうしき）とは、変数を入れ替えても変わらない多項式のことである。
概要

2 変数の多項式f(x,y) = x2 + x y + y2

において、x と y を入れ替えた式f(y,x) = y2 + y x + x2 = x2 + x y + y2

は、元の f(x,y) とは全く変わらない多項式である。このように、変数を入れ替えても変わらない多項式のことを対称式という。

似たようなものに交代式がある。交代式はg(x,y) = x2 − y2

のように、変数を入れ替えると、もとの式と符号が変わるg(y,x) = y2 − x2 = − g(x,y)

という性質を持つ式である。符号が変わるだけなので、偶数個の交代式の積や、交代式を 2 乗した式などは対称式となる。例えば g(x,y)2 = (x2 − y2)2

は対称式である。

任意の対称式は、基本対称式s1 = x + ys2 = x y

の多項式で書ける。例えばf(x,y) = x2 + x y + y2 = (x+y)2 − x y = s12 − s2

である。

こういった対称式の概念は、 2 変数に留まらず、3 変数以上の多項式にも拡張される。例えばf(x,y,z) = x3 + y3 + z3f(x,y,z,w) = 2 x + 2 y + 2 z + 2 w + 3 y2 z2 w2 + 3 z2 w2 x2 + 3 w2 x2 y2 + 3 x2 y2 z2

は、それぞれ、3 変数と 4 変数の対称式であり、どの 2 つの変数を入れ替えても、元の多項式と変わらない式である。

アルベール・ジラール（フランス語版、英語版）は、1629年に「代数学の新しい発明」(Invention Nouvelle en l'Algebre) おいて、n 次の代数方程式の根と係数の関係を発見した。代数方程式の係数は n 個の根の基本対称式と呼ばれる対称式により書かれるというこの関係は、一般の次数の代数方程式の構造を調べるための重要な足掛かりの一つとなった。さらに、ジラールは、これらの関係を用いて虚数の有用性を説いた。

18世紀の後半になると、任意の対称式は基本対称式によって書くことができる事が、ウェアリングやヴァンデルモンド（フランス語版、英語版）らによって示され、ラグランジュによる、代数方程式の根の置換の研究へとつながっていった。
定義
対称式

Λn = {1,2,3,…,n} とし、Sn は Λn に作用する n 次の対称群とする。

n 変数の多項式 f(x1,x2,…,xn) が、任意の σ ∈ Sn に対してf(x1,x2,…,xn)σ = f(xσ(1),xσ(2),…,xσ(n)) = f(x1,x2,…,xn)

を満たすとき、f(x1,x2,…,xn) を、対称多項式あるいは対称式という。要は f は変数をどのように入れ替えても不変な多項式である。

同様に有理式 f ( x 1 , x 2 , ⋯ x n ) = h ( x 1 , x 2 , ⋯ x n ) g ( x 1 , x 2 , ⋯ x n ) {\displaystyle f(x_{1},x_{2},\cdots x_{n})={h(x_{1},x_{2},\cdots x_{n}) \over g(x_{1},x_{2},\cdots x_{n})}}

が、任意の σ ∈ Sn に対して f ( x 1 , x 2 , ⋯ x n ) σ = h ( x 1 , x 2 , ⋯ x n ) σ g ( x 1 , x 2 , ⋯ x n ) σ = f ( x 1 , x 2 , ⋯ x n ) {\displaystyle f(x_{1},x_{2},\cdots x_{n})^{\sigma }={h(x_{1},x_{2},\cdots x_{n})^{\sigma } \over g(x_{1},x_{2},\cdots x_{n})^{\sigma }}=f(x_{1},x_{2},\cdots x_{n})}

であるとき、有理式 f は対称的であるという。対称多項式や対称有理式は、Sn という群の作用によって不変な式であるため、Sn 不変式ともいう。

有理式として対称的でも、分母や分子に現れる g や h は、対称式でないこともある。この場合 g の変数を置換して現れる異なる多項式 g1, g2, …, gm を分母分子にかけて f ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) = h g 1 g 2 ⋯ g m g g 1 g 2 ⋯ g m {\displaystyle f(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})={hg_{1}g_{2}\cdots g_{m} \over gg_{1}g_{2}\cdots g_{m}}}

という有理式にすることで、分母分子ともに対称式となるような表示が得られる。

ここで分母に行ったような、対称式とは限らない一般の多項式に対して、置換を作用して得られる、多項式の組から、対称式を作る手法は、しばしば有用である。例えば、対称式とは限らない 2 変数の多項式 f(x1,x2) と、その変数を置換して得られる多項式 f(x2,x1) の和や積g(x1,x2) = f(x1,x2) + f(x2,x1)h(x1,x2) = f(x1,x2) f(x2,x1)

は、いずれも対称式である。

単項式 T ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) = c   x 1 a 1 x 2 a 2 ⋯ x n a n {\displaystyle T(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})=c\ x_{1}^{a_{1}}x_{2}^{a_{2}}\cdots x_{n}^{a_{n}}}

に、適当な置換 σ ∈ Sn を作用させて単項式 T ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) σ = c   x σ ( 1 ) a 1   x σ ( 2 ) a 2 ⋯ x σ ( n ) a n {\displaystyle T(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})^{\sigma }=c\ x_{\sigma (1)}^{a_{1}}\ x_{\sigma (2)}^{a_{2}}\cdots x_{\sigma (n)}^{a_{n}}}