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ベン図による対称差の表現(A△B)△C のベン図   △   {\displaystyle ~\bigtriangleup ~}   =   {\displaystyle ~=~}

数学において、2 つの集合 A と B との対称差（たいしょうさ、英: symmetric difference[1]）とは、“A に属し、B に属さないもの” と “B に属し、A に属さないもの” とを全部集めて得られる集合である[2]。一般に、集合 A と B との対称差を、記号

A△B[2]  あるいは  A?B  あるいは  A?B

などで表す。例えば、{1, 2, 3} と {3, 4} との対称差は {1, 2, 4} に等しい： {1, 2, 3}△{3, 4} = {1, 2, 4}。

任意の集合に対して、その集合の冪集合は、対称差 △ を算法としてアーベル群となる[3]。空集合 ? はその群の単位元であり、その群の任意の元はその元自身の逆元である。また、任意の集合に対して、その集合の冪集合は、対称差 △ を加法とし共通部分 ∩ を乗法とするとき、ブール環となる[4]。
性質

対称差は、和集合と差集合の記号を用いて次のように表すことができる[2]：

A△B = (A−B)∪(B−A)。

X を 1 つの集合とし、A, B を X の 2 つの部分集合とする。集合 {0, 1} における二項演算として排他的論理和 ? : {0, 1} × {0, 1} → {0, 1} を定義すれば、X における指示関数に関して次が成り立つ： X の任意の元 x に対して

χ A△B (x) = χ A (x) ? χ B (x)。

アイバーソンの記法を用いれば次のようにも書ける：

[ x ∈ A△B ] = [ x ∈ A ] ? [ x ∈ B ]。

対称差はまた、和集合、差集合、共通部分の記号を用いて次のように表すことができる[2]：

A△B = (A∪B)−(A∩B)。

特に、A△B は A∪B の部分集合である： A△B ⊂ A∪B。また、A と B とが互いに素であるときかつそのときに限り A△B = A∪B である。さらには、A△B と A∩B とは互いに素であって、集合 {A△B, A∩B} は A∪B の 1 つの分割である。従って、対称差と共通部分とを最初に定義しておき、それらの記号を用いて、式

A∪B = (A△B)△(A∩B)

によって和集合を定義することもできる。
代数学的な性質

対称差について、次の 4 つが成り立つ[2]：
(A△B)△C = A△(B△C)    （結合法則）、

A△? = ?△A = A、

A△A = ?、

A△B = B△A    （交換法則）。

X を 1 つの集合とし、P(X) を X の冪集合とする。P(X) × P(X) の元 (A, B) に P(X) の元 A△B を対応させれば、P(X) における 1 つの二項算法が得られる。上の 4 つの性質から、その算法に関して P(X) はアーベル群となる。空集合 ? はその群の単位元である。P(X) の任意の元 A に対して A は A の逆元であるから、P(X) はブール群でもある。X がちょうど 2 個の元から成る集合であるならば、その可換群 P(X) はクラインの四元群 Z2 × Z2[注釈 1]と同型である。

共通部分は対称差に対して分配法則を満たす[2]：

A∩(B△C) = (A∩B)△(A∩C)。

よって、X を 1 つの集合とするとき、P(X) × P(X) の元 (A, B) に P(X) の元 A△B を対応させて得られる二項算法を加法とし、P(X) × P(X) の元 (A, B) に P(X) の元 A∩B を対応させて得られる二項算法を乗法とすれば、P(X) は環となる。また、P(X) はブール環でもある。
その他の性質

X を 1 つの集合とし、A, B を X の 2 つの部分集合とするとき、次が成り立つ：

A△B = (X−A)△(X−B)。

Λ を 1 つの集合とし、Λ の各元 λ に対して 2 つの集合 Aλ , Bλ が定められているとき、次が成り立つ：

( ⋃ λ ∈ Λ A λ ) △ ( ⋃ λ ∈ Λ B λ ) ⊂ ⋃ λ ∈ Λ ( A λ △ B λ ) {\displaystyle {\biggl (}\bigcup _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }{\biggr )}\bigtriangleup {\biggl (}\bigcup _{\lambda \in \Lambda }B_{\lambda }{\biggr )}\subset \bigcup _{\lambda \in \Lambda }{\bigl (}A_{\lambda }\bigtriangleup B_{\lambda }{\bigr )}}