対数正規分布確率密度関数

μ = 0
累積分布関数

μ = 0
母数 μ ∈ R {\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }
σ > 0 {\displaystyle \sigma >0}
台 ( 0 , ∞ ) {\displaystyle (0,\infty )}
確率密度関数 f ( x ) = 1 2 π σ x exp ⁡ ( − ( ln ⁡ x − μ ) 2 2 σ 2 ) {\displaystyle f(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma x}}\exp \left(-{\frac {(\ln {x}-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}
累積分布関数 1 2 erfc [ − ln ⁡ x − μ 2 σ ] {\displaystyle {\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \!\left[-{\frac {\ln x-\mu }{{\sqrt {2}}\sigma }}\right]}
期待値 e μ + σ 2 / 2 {\displaystyle e^{\mu +\sigma ^{2}/2}}
中央値 e μ {\displaystyle e^{\mu }}
最頻値 e μ − σ 2 {\displaystyle e^{\mu -\sigma ^{2}}}
分散 e 2 μ + σ 2 ( e σ 2 − 1 ) {\displaystyle e^{2\mu +\sigma ^{2}}(e^{\sigma ^{2}}-1)}
歪度 e σ 2 − 1 ( e σ 2 + 2 ) {\displaystyle {\sqrt {e^{\sigma ^{2}}-1}}(e^{\sigma ^{2}}+2)}
尖度 e 4 σ 2 + 2 e 3 σ 2 + 3 e 2 σ 2 − 6 {\displaystyle e^{4\sigma ^{2}}+2e^{3\sigma ^{2}}+3e^{2\sigma ^{2}}-6}
エントロピー 1 2 + 1 2 ln ⁡ ( 2 π σ 2 ) + μ {\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\ln {(2\pi \sigma ^{2})}+\mu }
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確率論および統計学において、対数正規分布（たいすうせいきぶんぷ、英: log-normal distribution）は、連続確率分布の一種である。この分布に従う確率変数の対数をとったとき、対応する分布が正規分布に従うものとして定義される。そのため中心極限定理の乗法的な類似が成り立ち、独立同分布に従う確率変数の積は漸近的に対数正規分布に従う。目次

1 定義

1.1 正規分布との関係


2 性質

2.1 平均・分散

2.2 再生性

2.3 中心極限定理の類似


3 n次対数正規分布

3.1 0次対数正規分布


4 脚注

5 参考文献

6 関連項目

定義

定数 μ と定数 σ > 0 に対し、正の実数を値にとる確率変数 X の確率密度関数 f(x) が f ( x ) = 1 2 π σ x exp ⁡ ( − ( ln ⁡ x − μ ) 2 2 σ 2 ) , 0 < x < ∞ {\displaystyle f(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma x}}\exp \left(-{\frac {(\ln x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right),\quad 0<x<\infty }

で与えられるとき、確率変数 X は対数正規分布に従うという。