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出典検索?: "対合"
この項目では、数学用語について説明しています。生物学用語については「減数分裂」をご覧ください。
対合（たいごう[1]、ついごう[1][2]、involution）は、自分自身をその逆として持つ写像である。
f − 1 ( x ) = f ( x ) , for any x . {\displaystyle f^{-1}(x)=f(x),{\mbox{ for any }}x.}
これは空間上の変換であって、二回繰り返すと恒等変換となる（元に戻る）という性質
λ ( λ ( x ) ) = x , for any x {\displaystyle \lambda (\lambda (x))=x,{\mbox{ for any }}x}
を持つものと言ってもよい。ただし、それ自身が恒等変換となるものは通常は除いて考える。またこれは変換群に属する位数 2 の元
σ which satisfies σ 2 = i d e n t i t y {\displaystyle \sigma {\mbox{ which satisfies }}\sigma ^{2}=\mathrm {identity} }
を指すと言っても同じことであり、それを理由に一般の群（抽象群）においても位数 2 の元を対合と呼ぶことがある。 群 G が与えられ、その上の写像 I: G → G が対合であって、次の関係 ( g h ) I = h I g I , for any g , h ∈ G {\displaystyle (gh)^{I}=h^{I}g^{I},{\mbox{ for any }}g,h\in G} を満たすとき、対合 I は G の群構造と両立するといい、組 (G, I) を対合付きの群と呼ぶ。群の逆元をとる演算 g ↦ g − 1 {\displaystyle g\mapsto g^{-1}} は g, h を G の元とすれば ( g − 1 ) − 1 = g , {\displaystyle (g^{-1})^{-1}=g,} を満たすので、これは群が標準的に持つ群構造と両立する対合である。 また、環 R とその上に対合 "*": R → R で ( r + s ) ∗ = r ∗ + s ∗ , for any r , s ∈ R , {\displaystyle (r+s)^{*}=r^{*}+s^{*},{\mbox{ for any }}r,s\in R,} を満たすものの組 (R, "*") として対合付き環の概念が得られる。もっと一般に必ずしも可換でないものを含む二項演算（と単項演算、0項演算）のみからなる代数系 A にその上の対合 σ が存在するとき、σ が A からその逆代数系 Aopp への準同型となる（つまり、二項演算の順番を逆にし、単項、0 項演算と可換となる）とき、代数系 A の構造と対合 σ は両立するといい、組 (A, σ) を対合つき代数系と呼ぶ。たとえば、n 次全行列環 Mn(K) (K は可換環あるいは体)に、行列を転置させる写像 t を考えたとき、x, y を行列、λ をスカラーとすると t ( t x ) = x , {\displaystyle {}^{t}\!({}^{t}\!x)=x,}
例
平面上の任意の点 x を、ある直線 l に関して対称な点 φ(x) に写す操作（鏡映）φ は、明らかに φ(φ(x)) = x を満たすから φ は平面上の対合である。
集合 A に対し、普遍集合 S において A の補集合 Ac をとる操作は、(Ac)c = A を満たすから、この変換は S の冪集合における対合である。
複素数 z に対しその共役複素数 z* をとる複素数体 C 上の変換は、 (z*)* = z を満たすから対合である。
対合つき代数系
( g h ) − 1 = h − 1 g − 1 {\displaystyle (gh)^{-1}=h^{-1}g^{-1}}
( r s ) ∗ = s ∗ r ∗ , for any r , s ∈ R , {\displaystyle (rs)^{*}=s^{*}r^{*},{\mbox{ for any }}r,s\in R,}
1 R ∗ = 1 R {\displaystyle 1_{R}^{*}=1_{R}}
t ( x + y ) = t x + t y {\displaystyle {}^{t}\!(x+y)={}^{t}\!x+{}^{t}\!y}
