実効記述集合論（じっこうきじゅつしゅうごうろん、Effective descriptive set theory）は記述集合論で細字
の定義をもつ集合や実数を扱う分野である; それはすなわち、定義にいかなる実数パラメータも要さないものである (Moschovakis 1980)。つまり実効記述集合論は、記述集合論と再帰理論を組み合わせたものである。実効ポーランド空間とは計算可能な表現(en:computable presentation)を持つ完備可分距離空間のことである。このような空間は、実効記述集合論と構成的解析学の両方で研究されている。 特に、実数直線、カントール集合、ベール空間などのポーランド空間の標準的な例は全て実効ポーランド空間である。
算術的階層詳細は「算術的階層」を参照
算術的階層、またはクリーネ-モストフスキ階層は、ある集合を、それらを定義する式の複雑さに基づいて分類する。そのような分類を受けた集合は「算術的」と呼ばれる。
より正式には、算術的階層は一階算術の言語における論理式に分類を割り当てる。分類は自然数n（0を含む）に対して Σ n 0 {\displaystyle \Sigma _{n}^{0}} と Π n 0 {\displaystyle \Pi _{n}^{0}} と表される。ここでのギリシャ文字は細字記号であり、論理式に集合パラメータが含まれていないことを意味する。
論理式 ϕ {\displaystyle \phi } が有界量化子のみを持つ論理式に論理的に同値であるとき ϕ {\displaystyle \phi } は分類 Σ 0 0 {\displaystyle \Sigma _{0}^{0}} と Π 0 0 {\displaystyle \Pi _{0}^{0}} を両方割り当てる。
0より大きい各自然数 n に対する Σ n 0 {\displaystyle \Sigma _{n}^{0}} , Π n 0 {\displaystyle \Pi _{n}^{0}} は次のように帰納的に定義される:
ϕ {\displaystyle \phi } が ∃ n 1 ∃ n 2 ⋯ ∃ n k ψ {\displaystyle \exists n_{1}\exists n_{2}\cdots \exists n_{k}\psi } （ただし、 ψ {\displaystyle \psi } は Π n 0 {\displaystyle \Pi _{n}^{0}} 式）の形の式と論理的に同値であるとき、 ϕ {\displaystyle \phi } には分類 Σ n + 1 0 {\displaystyle \Sigma _{n+1}^{0}} を割り当てる。
ϕ {\displaystyle \phi } が ∀ n 1 ∀ n 2 ⋯ ∀ n k ψ {\displaystyle \forall n_{1}\forall n_{2}\cdots \forall n_{k}\psi } （ただし、 ψ {\displaystyle \psi } は Σ n 0 {\displaystyle \Sigma _{n}^{0}} 式）の形の式と論理的に同値であるとき、 ϕ {\displaystyle \phi } には分類 Π n + 1 0 {\displaystyle \Pi _{n+1}^{0}} を割り当てる。
参考文献
Mansfield, Richard; Weitkamp, Galen (1985). Recursive Aspects of Descriptive Set Theory. Oxford University Press. pp. 124?38. .mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation.cs-ja1 q,.mw-parser-output .citation.cs-ja2 q{quotes:"「""」""『""』"}.mw-parser-output .citation:target{background-color:rgba(0,127,255,0.133)}.mw-parser-output .id-lock-free a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-subscription a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Lock-red-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Wikisource-logo.svg")right 0.1em center/12px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:none;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;color:#d33}.mw-parser-output .cs1-visible-error{color:#d33}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:#3a3;margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}.mw-parser-output .cs1-kern-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right{padding-right:0.2em}.mw-parser-output .citation .mw-selflink{font-weight:inherit}ISBN 978-0-19-503602-2. MR786122. https://archive.org/details/recursiveaspects0000mans/page/124
Moschovakis, Yiannis N. (1980). Descriptive Set Theory. North Holland. ISBN 0-444-70199-0. https://archive.org/details/descriptivesetth0000mosc Second edition available online
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