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出典検索?: "定常波" ? ニュース ・ 書籍 ・ スカラー ・ CiNii ・ J-STAGE ・ NDL ・ dlib.jp ・ ジャパンサーチ ・ TWL（2023年2月）
振動していない赤い点が節。節と節の中間に位置する振幅が最大の場所が腹。波形が進行しない様子がわかる。

定常波（ていじょうは、standing waveまたはstationary wave）とは、波長・周期(振動数または周波数)・振幅・速さ(速度の絶対値)が同じで進行方向が互いに逆向きの2つの波が重なり合うことによってできる、波形が進行せずその場に止まって振動しているようにみえる波動のことである。定在波(ていざいは)ともいう。
特徴
各点は同じ位相・周期で振動する。そのため全ての点の変位が0になる時刻および全ての点の変位が最大になる時刻が存在する。

媒質中の各点はそれぞれの位置に応じた振幅で振動する。

全く振動せず振幅が0になる点および振幅が最大になり変位が最も揺れ動く点が現れる。前者を節(node)、後者を腹(anti-node)という。重なり合う2つの波の波長をλとすると、節および腹はそれぞれλ/2ごとに現れる。

腹における振幅は元の波の2倍になる。

各点の振動の周期は元の波と同じである。

正弦定常波

波長・周期・振幅・速さが等しく互いに逆向きの2つの正弦波を考える。

y 1 ( x , t ) = A sin ⁡ { ω ( t − x v ) + δ 1 } = A sin ⁡ { 2 π ( t T − x λ ) + δ 1 } = A sin ⁡ ( ω t − k x + δ 1 ) {\displaystyle y_{1}(x,t)=A\sin \left\{\omega \left(t-{\frac {x}{v}}\right)+\delta _{1}\right\}=A\sin \left\{2\pi \left({\frac {t}{T}}-{\frac {x}{\lambda }}\right)+\delta _{1}\right\}=A\sin(\omega t-kx+\delta _{1})}

y 2 ( x , t ) = A sin ⁡ { ω ( t + x v ) + δ 2 } = A sin ⁡ { 2 π ( t T + x λ ) + δ 2 } = A sin ⁡ ( ω t + k x + δ 2 ) {\displaystyle y_{2}(x,t)=A\sin \left\{\omega \left(t+{\frac {x}{v}}\right)+\delta _{2}\right\}=A\sin \left\{2\pi \left({\frac {t}{T}}+{\frac {x}{\lambda }}\right)+\delta _{2}\right\}=A\sin(\omega t+kx+\delta _{2})}

ただしAは振幅、ωは角周波数、vは伝播速度、δ1,δ2はそれぞれの初期位相でTは周期、λは波長、kは波数でx,tは媒質上の位置および時刻である。

この節では、これら2つの正弦波によってつくられる正弦定常波

y ( x , t ) = y 1 + y 2 {\displaystyle y(x,t)=y_{1}+y_{2}}

について述べる。
特徴
各点は同じ位相・周期で単振動する。そのため全ての点の変位が0になる時刻tminおよび全ての点の変位が最大になる時刻tmaxが存在する。

媒質中の各点はそれぞれの位置に応じた振幅Axで振動する。

節xminと腹xmaxはそれぞれ一定の間隔Δx=λ/2ごとに現れる。

隣り合う節と腹の間隔も一定値となりその値はΔx'=λ/4となる。

腹における振幅Amaxは2Aとなる。

各点の単振動の周期τはTとなる。

tmin、tmax、xmin、xmax、Δx、Δx'、Ax、Amax、τはそれぞれ以下の式で表される。

t m i n = n T 2 − δ 1 + δ 2 2 ω {\displaystyle t_{min}={\frac {nT}{2}}-{\frac {\delta _{1}+\delta _{2}}{2\omega }}}
t m a x = ( n + 1 2 ) T 2 − δ 1 + δ 2 2 ω {\displaystyle t_{max}=\left(n+{\frac {1}{2}}\right){\frac {T}{2}}-{\frac {\delta _{1}+\delta _{2}}{2\omega }}}
x m i n = ( n + 1 2 ) λ 2 + δ 1 − δ 2 2 k {\displaystyle x_{min}=\left(n+{\frac {1}{2}}\right){\frac {\lambda }{2}}+{\frac {\delta _{1}-\delta _{2}}{2k}}}
x m a x = n λ 2 + δ 1 − δ 2 2 k {\displaystyle x_{max}={\frac {n\lambda }{2}}+{\frac {\delta _{1}-\delta _{2}}{2k}}}
Δ x = λ 2 {\displaystyle {\mathit {\Delta }}x={\frac {\lambda }{2}}}
Δ x ′ = λ 4 {\displaystyle {\mathit {\Delta }}x'={\frac {\lambda }{4}}}
A m a x = 2 A {\displaystyle A_{max}=2A}
τ = T {\displaystyle \tau =T}

正弦定常波の様子は下図のようになる。ただし青線が定常波、赤線と緑線は合成前の2つの進行波である。
導出

上記の特徴は以下のように証明できる。

三角関数の和積公式を用いると

y = A sin ⁡ ( ω t − k x + δ 1 ) + A sin ⁡ ( ω t + k x + δ 2 ) = 2 A sin ⁡ ( ω t + δ 1 + δ 2 2 ) cos ⁡ ( k x − δ 1 − δ 2 2 ) {\displaystyle {\begin{matrix}y&=&A\sin(\omega t-kx+\delta _{1})+A\sin(\omega t+kx+\delta _{2})\\&=&2A\sin \left(\omega t+{\dfrac {\delta _{1}+\delta _{2}}{2}}\right)\cos \left(kx-{\dfrac {\delta _{1}-\delta _{2}}{2}}\right)\end{matrix}}}