より一般の微分幾何・微分位相幾何については「閉微分形式と完全微分形式（英語版）」をご覧ください。

多変数微分積分学における微分が完全 (exact, perfect) あるいは完全微分（かんぜんびぶん、英: exact differential）とは、それが適当な可微分函数 Q の微分 dQ となるときに言い、そうでないとき不完全微分（英語版）と呼ぶ。

完全微分はしばしば「全微分」('total differential', 'full differential') あるいは微分幾何学において完全形式などとも呼ばれる
概観
定義

ここでは三次元（三変数函数）で考えるが、同様の定義は任意の次元で容易に考えられる。三次元において A ( x , y , z ) d x + B ( x , y , z ) d y + C ( x , y , z ) d z {\displaystyle A(x,y,z){\mathit {dx}}+B(x,y,z){\mathit {dy}}+C(x,y,z){\mathit {dz}}} の形の式を微分形式（あるいは微分形）と呼ぶ。この形式が領域 D ⊂ R3 上の完全微分とは、D 上で定義されたスカラー函数 Q = Q(x, y, z) が存在して、Q の全微分 d Q ≡ ( ∂ Q ∂ x ) y , z d x + ( ∂ Q ∂ y ) x , z d y + ( ∂ Q ∂ z ) x , y d z {\displaystyle dQ\equiv {\Bigl (}{\frac {\partial Q}{\partial x}}{\Big )}_{y,z}{\mathit {dx}}+{\Bigl (}{\frac {\partial Q}{\partial y}}{\Big )}_{x,z}{\mathit {dy}}+{\Bigl (}{\frac {\partial Q}{\partial z}}{\Big )}_{x,y}{\mathit {dz}}} に対して D 上で d Q = A d x + B d y + C d z {\textstyle dQ=A{\mathit {dx}}+B{\mathit {dy}}+C{\mathit {dz}}} が成り立つときに言う。これはベクトル場 (A, B, C) が対応するポテンシャル Q に関する保存ベクトル場（英語版）であると言ってもよい。
注
ここで丸括弧の右下にある添字は、微分に際してどの変数を固定したかを表すものである。偏微分の記法に則ればこれらの下付き添字は不要なものだが、忘備録として書いておく。
一次元の場合

一次元の場合に、微分形 A(x)dx が完全とは、A が原始函数（これは別に初等函数でなくてよい）を持つことに他ならない。すなわち、A が原始函数を持つとしてその原始函数を Q と書けば、A, Q は上記の完全性の定義条件を満たす。一方、A が原始函数を「持たない」なら、A(x)dx = dQ の形に書くことはできず、この微分形は不完全である。
二次元あるいは三次元

二階微分の対称性とは、大抵の素性の良い函数 Q が ∂ 2 Q ∂ x ∂ y = ∂ 2 Q ∂ y ∂ x {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}Q}{\partial x\,\partial y}}={\frac {\partial ^{2}Q}{\partial y\,\partial x}}} を満たすことを言うものである。これを用いれば、xy-平面上の単連結領域 R において、微分形 A(x, y)dx + B(x, y)dy が完全微分となるための必要十分条件は ( ∂ A ∂ y ) x = ( ∂ B ∂ x ) y {\displaystyle {\Bigl (}{\frac {\partial A}{\partial y}}{\Big )}_{x}={\Bigl (}{\frac {\partial B}{\partial x}}{\Big )}_{y}} を満足することである。

同様に三次元の場合、微分形 A(x, y, z)dx + B(x, y, z)dy + C(x, y, z)dz が xyz-座標空間の領域 R において完全微分となるのは、A, B, C が関係式 ( ∂ A ∂ y ) x , z = ( ∂ B ∂ x ) y , z ; ( ∂ A ∂ z ) x , y = ( ∂ C ∂ x ) y , z ; ( ∂ B ∂ z ) x , y = ( ∂ C ∂ y ) x , z {\displaystyle {\Bigl (}{\frac {\partial A}{\partial y}}{\Big )}_{x,z}={\Bigl (}{\frac {\partial B}{\partial x}}{\Big )}_{y,z};\quad {\Bigl (}{\frac {\partial A}{\partial z}}{\Big )}_{x,y}={\Bigl (}{\frac {\partial C}{\partial x}}{\Big )}_{y,z};\quad {\Bigl (}{\frac {\partial B}{\partial z}}{\Big )}_{x,y}={\Bigl (}{\frac {\partial C}{\partial y}}{\Big )}_{x,z}} を満足するときである。

これらの条件は以下のように述べることもできる。対応するベクトル値函数のグラフを G とすれば、「曲面」G の任意の接ベクトル X, Y に対して斜交形式 s を以って s(X, Y) = 0 が成り立つ。

二階微分の計算において微分する順番は問わないのだったから、これらの条件を一般化するのは容易である。例えば、四変数函数に関する完全微分 dQ を得るには、六つの条件を満足するべきことがわかる。

簡単にまとめると、与えられた微分形が完全微分 dQ となるのは

函数 Q が存在して

線積分 ∫ i f d Q = Q ( f ) − Q ( i ) {\textstyle \int _{i}^{f}dQ=Q(f)-Q(i)} が積分経路に依らない

ときである。
偏微分関係式

三つの変数 x, y, z が適当な可微分函数 F に関する条件 F(x, y, z) = (一定) によって束縛されているとすれば、全微分 d x = ( ∂ x ∂ y ) z d y + ( ∂ x ∂ z ) y d z , d z = ( ∂ z ∂ x ) y d x + ( ∂ z ∂ y ) x d y {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathit {dx}}&={\Bigl (}{\frac {\partial x}{\partial y}}{\Big )}_{z}{\mathit {dy}}+{\Bigl (}{\frac {\partial x}{\partial z}}{\Big )}_{y}{\mathit {dz}},\\[5pt]{\mathit {dz}}&={\Bigl (}{\frac {\partial z}{\partial x}}{\Big )}_{y}{\mathit {dx}}+{\Bigl (}{\frac {\partial z}{\partial y}}{\Big )}_{x}{\mathit {dy}}\end{aligned}}} が存在する[1]:667&669。